Resolva os problemas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os coeficientes. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:
Esse formato nos ajuda a identificar o que vamos precisar para aplicar o método do fator integrante.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada pela equação original, nos permite integrar facilmente. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
(Removemos o valor absoluto porque
é positivo para todos os
no domínio relevante.)
Passo 4
Com o fator integrante determinado, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Para ver isso, lembramos que:
Que é exatamente o que temos no lado esquerdo.
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
A integral da derivada é simplesmente o próprio produto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral no lado direito:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Substituindo:
Então, temos:
Passo 8
Agora, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 9
Agora usamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que
:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva os problemas abaixo:
Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva cada item: Encontre um fator de integração
para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.