Resolva os problemas abaixo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar claro os coeficientes. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Onde:
Esse formato nos ajuda a identificar o que vamos precisar para aplicar o método do fator integrante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada pela equação original, nos permite integrar facilmente. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . Substituindo:
Portanto, o fator integrante é:
(Removemos o valor absoluto porque é positivo para todos os no domínio relevante.)

Passo 4

Com o fator integrante determinado, multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Para ver isso, lembramos que:
Que é exatamente o que temos no lado esquerdo.

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
A integral da derivada é simplesmente o próprio produto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral no lado direito:
Fazemos a substituição , então ou . Substituindo:
Então, temos:

Passo 8

Agora, resolvemos para dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 9

Agora usamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que :
Simplificando:
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva os problemas abaixo:
Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Resolva cada item: Encontre um fator de integração para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.