Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
F(x) = raiz(x^2 + 5x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o domínio e a imagem da função . Isso está dentro do conteúdo de Funções Matemáticas, e para resolver, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como manipular expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. No nosso caso, temos uma raiz quadrada, e para ela ser definida no conjunto dos números reais, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro, fatoramos a expressão quadrática:
Agora, temos:
Para resolver isso, identificamos os pontos de equilíbrio onde a expressão é igual a zero:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero:
  1. Intervalo :
    • Vamos pegar :
  2. Intervalo :
    • Vamos pegar :
  3. Intervalo :
    • Vamos pegar :
Portanto, a expressão é maior ou igual a zero quando ou .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como é uma raiz quadrada, sabemos que o resultado sempre será maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de qualquer número não negativo é não negativa.
Além disso, como pode crescer até o infinito positivo quando vai para ou , a função também pode crescer sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos.

Resposta

  • Domínio: ou
  • Imagem:

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