Para os exercícios de a-f, encontre o domínio e imagem de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o domínio e a imagem da função
. Isso está dentro do conteúdo de Funções Matemáticas, e para resolver, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, além de saber como manipular expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. No nosso caso, temos uma raiz quadrada, e para ela ser definida no conjunto dos números reais, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Ou seja:
Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro, fatoramos a expressão quadrática:
Agora, temos:
Para resolver isso, identificamos os pontos de equilíbrio onde a expressão é igual a zero:
Esses pontos dividem a reta real em três intervalos. Vamos testar cada intervalo para ver onde a expressão é positiva ou zero:
-
Intervalo
: - Vamos pegar
:
- Vamos pegar
-
Intervalo
: - Vamos pegar
:
- Vamos pegar
-
Intervalo
: - Vamos pegar
:
- Vamos pegar
Portanto, a expressão
é maior ou igual a zero quando
ou
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
é uma raiz quadrada, sabemos que o resultado sempre será maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de qualquer número não negativo é não negativa.
Além disso, como
pode crescer até o infinito positivo quando
vai para
ou
, a função
também pode crescer sem limites. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos.
Resposta
- Domínio:
ou - Imagem: