Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação:
E um ponto específico nessa superfície: .
Queremos encontrar:
a) A equação do plano tangente nesse ponto.
b) A equação da reta normal no ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar o plano tangente e a reta normal. Precisamos lembrar como calcular o gradiente de uma função e como ele está relacionado ao plano tangente e à reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de forma que seja igual a zero, pois isso facilita o cálculo das derivadas parciais. A equação dada é:
Vamos mover o -4 para o outro lado:
Agora temos:
Essa função representa a superfície.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente no ponto , precisamos calcular o gradiente de nesse ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície naquele ponto.
O gradiente de é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
  1. Derivada parcial em relação a y:
  1. Derivada parcial em relação a z:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto .
Substituindo e nas derivadas parciais:
  1. Para x:
  1. Para y:
  1. Para z:
A derivada parcial em relação a z é sempre -1.
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora que temos o gradiente no ponto , podemos escrever a equação do plano tangente. A equação geral do plano tangente em um ponto é:
Isso significa que fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor que vai de para um ponto genérico igual a zero.
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos calcular esse produto escalar:
Distribuindo:
Simplificando os termos constantes:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal no ponto . A reta normal é aquela que passa pelo ponto e é paralela ao vetor gradiente .
A forma parametrizada da reta é:
Onde são as componentes do vetor diretor da reta, que neste caso é o gradiente , e é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores na equação parametrizada:
Essa é a equação da reta normal no ponto .

Resposta

a) A equação do plano tangente em é:
b) A equação da reta normal em é:
Onde é um parâmetro real.

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