Seja
. Existe algum número real
tal que
? Considere a função
. A função
assume valor máximo? Porquê?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. A primeira parte da pergunta quer saber se existe algum número real
tal que
. A segunda parte nos apresenta a função
definida de
para
com
e pergunta se essa função assume um valor máximo e por quê. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, limite e propriedades de crescimento das funções.
Passo 2
Vamos começar analisando a primeira parte: existe um
real tal que
? Isso significa que queremos encontrar
tal que:
Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função
.
Passo 3
Observe que
, que é sempre positivo para qualquer valor real de
. Além disso,
pode ser positivo ou negativo dependendo de
, mas
é sempre positivo porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo, e somando 2 continua positivo. Portanto, a fração
será positiva quando
, negativa quando
, e zero quando
.
Passo 4
Vamos verificar o valor de
para alguns valores de
:
-
Quando
: -
Quando
:
Percebemos que
está sempre acima de 1 para
.
Passo 5
Vamos considerar agora valores de
negativos:
-
Quando
:
Aqui,
é negativo. Então, percebemos que
muda de negativo para positivo passando por
.
Passo 6
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo zero nesse intervalo. Como
e
, existe algum valor
entre -1 e 0 onde
.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte: a função
definida no intervalo
assume um valor máximo? Para isso, consideramos que
é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado.
Passo 8
Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um intervalo fechado e limitado assume seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Como
é contínua em
, ela deve ter um valor máximo nesse intervalo.
Resposta
Sim, existe um número real
tal que
. Além disso, a função
definida no intervalo
assume um valor máximo devido ao Teorema de Weierstrass que garante a existência de máximos e mínimos em funções contínuas em intervalos fechados e limitados.
Exercícios relacionados
Determinar a de modo que a divisão de
por
tenha resto - 2.
Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
(a)
(b) A reta normal no ponto
Mostre que
dada por
é injetora, sobrejetora e ache a inversa.
Determine
para que
seja divisível por
.