Seja . Existe algum número real tal que ? Considere a função . A função assume valor máximo? Porquê?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . A primeira parte da pergunta quer saber se existe algum número real tal que . A segunda parte nos apresenta a função definida de para com e pergunta se essa função assume um valor máximo e por quê. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, limite e propriedades de crescimento das funções.

Passo 2

Vamos começar analisando a primeira parte: existe um real tal que ? Isso significa que queremos encontrar tal que:
Para resolver isso, precisamos entender o comportamento da função .

Passo 3

Observe que , que é sempre positivo para qualquer valor real de . Além disso, pode ser positivo ou negativo dependendo de , mas é sempre positivo porque qualquer número elevado a uma potência par é positivo, e somando 2 continua positivo. Portanto, a fração será positiva quando , negativa quando , e zero quando .

Passo 4

Vamos verificar o valor de para alguns valores de :
  • Quando :
  • Quando :
Percebemos que está sempre acima de 1 para .

Passo 5

Vamos considerar agora valores de negativos:
  • Quando :
Aqui, é negativo. Então, percebemos que muda de negativo para positivo passando por .

Passo 6

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela deve cruzar o eixo zero nesse intervalo. Como e , existe algum valor entre -1 e 0 onde .

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte: a função definida no intervalo assume um valor máximo? Para isso, consideramos que é uma função contínua em um intervalo fechado e limitado.

Passo 8

Pelo Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um intervalo fechado e limitado assume seus valores máximos e mínimos nesse intervalo. Como é contínua em , ela deve ter um valor máximo nesse intervalo.

Resposta

Sim, existe um número real tal que . Além disso, a função definida no intervalo assume um valor máximo devido ao Teorema de Weierstrass que garante a existência de máximos e mínimos em funções contínuas em intervalos fechados e limitados.

Exercícios relacionados

Determinar a de modo que a divisão de por tenha resto - 2.
Nos exercícios 1-8, encontre equações para:
(a) plano tangente;
(b) A reta normal no ponto na superfície dada.
Mostre que dada por é injetora, sobrejetora e ache a inversa.
Determine para que seja divisível por .