Nos exercícios 2. a 5. esboce o gráfico da função.
y = |ln |x + 1||

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função . Isso envolve entender funções logarítmicas e como o valor absoluto afeta o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar analisar o domínio da função, identificar pontos chave, entender as transformações aplicadas à função logarítmica básica e, por fim, desenhar o esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função logaritmo só está definida para . No nosso caso, temos , então precisamos que .
Como o valor absoluto de qualquer número é sempre positivo, a única restrição é que , ou seja, . Portanto, .
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto :
í

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos chave da função. Vamos pensar nos valores de que tornam fácil de calcular:
  1. Quando :
    Então,
    Isso ocorre quando ou , ou seja, e .
  2. Quando :
    Então,
  3. Quando :
    Então,

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de :
  1. Para :
    • A função se comporta como
    • Quando aumenta, aumenta, então aumenta.
  2. Para :
    • se , mas como está dentro do valor absoluto, fica positivo.
    • A função se comporta como e como , é negativo, então
    • A função diminui até atingir e depois aumenta.
  3. Para :
    • A função se comporta como
    • Conforme se torna mais negativo, aumenta, então aumenta.

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico com base nas informações que coletamos:
  1. Pontos de interseção com o eixo :
    • e , onde
  2. Assíntota vertical:
    • Em , já que a função não está definida ali.
  3. Comportamento das curvas:
    • Para , aumenta conforme aumenta.
    • Entre e , a função tem um ponto mínimo em (não definido) e sobe em direção aos pontos e .
    • Para , aumenta conforme diminui.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta dois ramos simétricos em relação à linha , com pontos de interseção no eixo em e . Há uma assíntota vertical em . Para e , a função cresce indefinidamente, enquanto entre , ela atinge um mínimo próximo a . O gráfico forma uma espécie de “V” invertido centrado em .

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