Nos exercícios 2. a 5. esboce o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Isso envolve entender funções logarítmicas e como o valor absoluto afeta o gráfico. Para resolver isso, vamos precisar analisar o domínio da função, identificar pontos chave, entender as transformações aplicadas à função logarítmica básica e, por fim, desenhar o esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. A função logaritmo
só está definida para
. No nosso caso, temos
, então precisamos que
.
Como o valor absoluto de qualquer número é sempre positivo, a única restrição é que
, ou seja,
. Portanto,
.
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
:
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos chave da função. Vamos pensar nos valores de
que tornam
fácil de calcular:
-
Quando
: Então,
Isso ocorre quandoou , ou seja, e . -
Quando
: Então, -
Quando
: Então,
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos de
:
-
Para
: -
- A função se comporta como
- Quando
aumenta, aumenta, então aumenta.
-
-
Para
: -
se , mas como está dentro do valor absoluto, fica positivo. - A função se comporta como
e como , é negativo, então - A função diminui até atingir
e depois aumenta.
-
-
Para
: -
- A função se comporta como
- Conforme
se torna mais negativo, aumenta, então aumenta.
-
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico com base nas informações que coletamos:
-
Pontos de interseção com o eixo
: -
e , onde
-
-
Assíntota vertical:
- Em
, já que a função não está definida ali.
- Em
-
Comportamento das curvas:
- Para
, aumenta conforme aumenta. - Entre
e , a função tem um ponto mínimo em (não definido) e sobe em direção aos pontos e . - Para
, aumenta conforme diminui.
- Para
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta dois ramos simétricos em relação à linha
, com pontos de interseção no eixo
em
e
. Há uma assíntota vertical em
. Para
e
, a função cresce indefinidamente, enquanto entre
, ela atinge um mínimo próximo a
. O gráfico forma uma espécie de “V” invertido centrado em
.