Seja . Determine o domínio de , os valores de onde a se anula e os intervalos onde a é positiva e onde a é negativa.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
Precisamos determinar três coisas:
  1. Domínio de : Ou seja, para quais valores de a função está definida.
  2. Valores de onde : Os pontos onde a função se anula.
  3. Intervalos onde é positiva ou negativa: Onde a função está acima ou abaixo do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e análise de sinais.

Passo 2

Determinar o domínio de :
Para a função estar definida, precisamos que o denominador e o argumento do logaritmo sejam válidos.
  1. Dentro do logaritmo:
    está definido quando .
    Resolvendo:
  2. No denominador:
    está definido quando .
    Resolvendo:
    Analisamos os intervalos:
    • Para : Ambas as parcelas são negativas, então o produto é positivo.
    • Para : Uma parcela é negativa e a outra positiva, o produto é negativo.
    • Para : Ambas as parcelas são positivas, o produto é positivo.
    Portanto, quando ou .
Intersecção das condições:
Para a função estar definida, ambas as condições devem ser verdadeiras.
  • Quando :
    • é verdadeira.
    • é verdadeira.
  • Quando :
    • é verdadeira (pois não é, mas precisa ser maior que ).
    Precisamos ajustar: , então .
Portanto, o domínio de é:

Passo 3

Encontrar os valores de onde :
A função se anula quando o numerador é zero, desde que o denominador não seja zero.
Então, precisamos resolver:
Sabemos que quando . Portanto:
Agora, verificamos se esses valores estão no domínio:
  • está em , então está no domínio.
  • não está em , então não faz parte do domínio.
Portanto, o único valor onde é .

Passo 4

Determinar os intervalos onde é positiva ou negativa:
Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo do domínio.
  1. Intervalo :
    • Numerador :
      e para . Portanto, .
    • Denominador :
      Positivo, já que está definido.
    • Sinal de :
      Positivo.
  2. Intervalo :
    • Numerador :
      para . Portanto, .
    • Denominador :
      Positivo, já que está definido.
    • Sinal de :
      Positivo.
Resumo dos sinais:
  • Para :
  • Para :
  • Para e :
Não há intervalos onde é negativa dentro do domínio.

Resposta

O domínio de é . A função se anula em . Além disso, é positiva em todos os intervalos do seu domínio: e . Não há intervalos onde é negativa.

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