Seja
. Determine o domínio de
, os valores de
onde a
se anula e os intervalos onde a
é positiva e onde a
é negativa.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
Precisamos determinar três coisas:
- Domínio de
: Ou seja, para quais valores de a função está definida. - Valores de
onde : Os pontos onde a função se anula. - Intervalos onde
é positiva ou negativa: Onde a função está acima ou abaixo do eixo .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e análise de sinais.
Passo 2
Determinar o domínio de
:
Para a função estar definida, precisamos que o denominador e o argumento do logaritmo sejam válidos.
-
Dentro do logaritmo:
está definido quando . Resolvendo: -
No denominador:
está definido quando . Resolvendo:Analisamos os intervalos:- Para
: Ambas as parcelas são negativas, então o produto é positivo. - Para
: Uma parcela é negativa e a outra positiva, o produto é negativo. - Para
: Ambas as parcelas são positivas, o produto é positivo.
Portanto,quando ou . - Para
Intersecção das condições:
Para a função estar definida, ambas as condições devem ser verdadeiras.
-
Quando
: -
é verdadeira. -
é verdadeira.
-
-
Quando
: -
é verdadeira (pois não é, mas precisa ser maior que ).
Precisamos ajustar:, então . -
Portanto, o domínio de
é:
Passo 3
Encontrar os valores de
onde
:
A função
se anula quando o numerador é zero, desde que o denominador não seja zero.
Então, precisamos resolver:
Sabemos que
quando
. Portanto:
Agora, verificamos se esses valores estão no domínio:
-
está em , então está no domínio. -
não está em , então não faz parte do domínio.
Portanto, o único valor onde
é
.
Passo 4
Determinar os intervalos onde
é positiva ou negativa:
Vamos analisar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo do domínio.
-
Intervalo
: -
Numerador
:
e para . Portanto, . -
Denominador
:
Positivo, já que está definido. -
Sinal de
:
Positivo.
-
-
Intervalo
: -
Numerador
:
para . Portanto, . -
Denominador
:
Positivo, já que está definido. -
Sinal de
:
Positivo.
-
Resumo dos sinais:
- Para
: - Para
: - Para
e :
Não há intervalos onde
é negativa dentro do domínio.
Resposta
O domínio de
é
. A função
se anula em
. Além disso,
é positiva em todos os intervalos do seu domínio:
e
. Não há intervalos onde
é negativa.
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Nos exercícios 2. a 5. esboce o gráfico da função.
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