Nos exercícios, (a) expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a diferenciar funções compostas. Primeiro, vamos expressar
diretamente em termos de
,
e
antes de derivar.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as expressões dadas na definição de
:
Onde:
Substituindo
e
na expressão de
:
Então, temos:
Sabendo que
(desde que
esteja no intervalo adequado, o que é o caso aqui), a expressão simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Como
, tratamos
como uma constante em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Usando a expressão
, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
,
.
Novamente, usando
, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Assim:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto específico
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos os valores nas derivadas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
h)
Nos exercícios, (a) expresse
e
como função de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO
possui alguma solução:
a) ;
a)
Suponha que
sejam
soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes e que
. O conjunto de soluções
é linearmente dependente ou linearmente independente em
? Justifique.