Nos exercícios, (a) expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a diferenciar funções compostas. Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de , e antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões dadas na definição de :
Onde:
Substituindo e na expressão de :
Então, temos:
Sabendo que (desde que esteja no intervalo adequado, o que é o caso aqui), a expressão simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Como , tratamos como uma constante em relação a :

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Usando a expressão , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , .
Novamente, usando , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Assim:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto específico .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos os valores nas derivadas:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
Nos exercícios, (a) expresse e como função de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO possui alguma solução:
a) ;
Suponha que sejam soluções não-triviais de uma equação diferencial linear homogênea de ordem com coeficientes constantes e que . O conjunto de soluções é linearmente dependente ou linearmente independente em ? Justifique.