Nos exercícios, (a) expresse partial u / partial x, partial u / partial y e partial u / partial z como funções de x, y e z usando a regra da cadeia e também expressando u diretamente em termos de x, y e z antes de diferenciar. Depois (b) calcule partial u / partial x, partial u / partial y e partial u / partial z no ponto dado (x, y, z).
u=e^q r arcsen p, p=sen x, q=z^2 ln y, r=1 / z ; no ponto (x, y, z)= (pi / 4,1 / 2,-1 / 2).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a diferenciar funções compostas. Primeiro, vamos expressar diretamente em termos de , e antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões dadas na definição de u = e^q r arcsin p :
p = sin x
Onde:
q = z^2 ln y
r = 1z
q r = z^2 ln y cdot 1z = z ln y
Substituindo u = e^z ln y arcsin (sin x) e u = e^z ln y cdot x na expressão de :
Então, temos:
Sabendo que (desde que esteja no intervalo adequado, o que é o caso aqui), a expressão simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial x = e^z ln y cdot partial xpartial x = e^z ln y cdot 1 = e^z ln y em relação a , ou seja, .
Como , tratamos como uma constante em relação a :

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de partial upartial y = x cdot partialpartial y ( e^z ln y ) em relação a partialpartial y ( e^z ln y ) = e^z ln y cdot partialpartial y (z ln y) = e^z ln y cdot ( zy ) = z e^z ln yy , partial upartial y = x z e^z ln yy .
Usando a expressão , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Portanto:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de partial upartial z = x cdot partialpartial z ( e^z ln y ) em relação a partialpartial z ( e^z ln y ) = e^z ln y cdot ln y , partial upartial z = x ln y cdot e^z ln y .
Novamente, usando , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando em relação a :
Assim:

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores das derivadas no ponto específico z = -12, y = 12 .
Primeiro, calculamos e^z ln y = e^ -12 cdot ln ( 12 ) = e^ -12 cdot (-ln 2) = e^ ln 22 = raiz2 :
partial upartial x = raiz2
partial upartial y = x z e^z ln yy = ( pi4 ) ( -12 ) raiz2 12 = -pi8 raiz2 12 = -pi4 raiz2
Agora, substituímos os valores nas derivadas:
  1. Para partial upartial z = x ln y cdot e^z ln y = pi4 cdot ln ( 12 ) cdot raiz2 = pi4 cdot (-ln 2) cdot raiz2 = -pi ln 24 raiz2 :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial upartial x = raiz2 são:
partial upartial y = -pi4 raiz2
partial upartial z = -pi ln 24 raiz2

Exercícios relacionados