Nos exercícios, (a) expresse
e
como função de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função
que depende de
e
, e essas por sua vez dependem de
e
. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia e também expressar
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Por fim, vamos calcular essas derivadas no ponto específico
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar
e
. A regra da cadeia nos diz que:
E de forma similar para
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Para
:
Agora, para
:
E para
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos expressar
diretamente em termos de
e
.
Sabemos que:
Simplificando
:
Portanto:
Passo 6
Vamos diferenciar diretamente
em relação a
e
.
Primeiro, para
:
Para
:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular
e
no ponto
.
Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
No ponto
, as derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
c)
Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. sabendo-se após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
h)
Nos exercícios, (a) expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.