Nos exercícios, (a) expresse e como função de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função que depende de e , e essas por sua vez dependem de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia e também expressar diretamente em termos de e antes de diferenciar. Por fim, vamos calcular essas derivadas no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar e . A regra da cadeia nos diz que:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Para :
Agora, para :
E para :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos expressar diretamente em termos de e .
Sabemos que:
Simplificando :
Portanto:

Passo 6

Vamos diferenciar diretamente em relação a e .
Primeiro, para :
Para :

Passo 7

Finalmente, vamos calcular e no ponto .
Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Substituindo na expressão de :

Resposta

No ponto , as derivadas parciais são:

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Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. sabendo-se após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.
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h) .
Nos exercícios, (a) expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .