Nos exercícios, (a) expresse partial z / partial u e partial z / partial v como função de u e v usando a regra da cadeia e também expressando z diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. Depois (b) calcule partial z / partial u e partial z / partial v no ponto dado (u, v).
z=4 e^x ln y, x=ln (u cos v), y=u sen v ; no ponto (u, v)=(2, pi / 6).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função que depende de e , e essas por sua vez dependem de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia e também expressar diretamente em termos de e antes de diferenciar. Por fim, vamos calcular essas derivadas no ponto específico .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e . A regra da cadeia nos diz que:
E de forma similar para .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Para partial zpartial x = 4 e^x ln y :
partial zpartial y = 4 e^xy
partial xpartial u = 1u cos v cdot cos v = 1u
Agora, para partial xpartial v = 1u cos v cdot (-u sin v) = -tan v :
partial ypartial u = sin v
partial ypartial v = u cos v
E para :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial u = 4 e^x ln y cdot 1u + 4 e^xy cdot sin v
partial zpartial v = 4 e^x ln y cdot (-tan v) + 4 e^xy cdot u cos v

Passo 5

Agora, vamos expressar z = 4 e^x ln y = 4 e^ln(u cos v) ln(u sin v) diretamente em termos de e^ln(u cos v) = u cos v e z = 4 u cos v cdot ln(u sin v) .
Sabemos que:
Simplificando :
Portanto:

Passo 6

Vamos diferenciar diretamente partial zpartial u = 4 cos v cdot ln(u sin v) + 4 u cos v cdot 1u sin v cdot sin v = 4 cos v (ln(u sin v) + 1) em relação a partial zpartial v = 4 (-u sin v) ln(u sin v) + 4 u cos v cdot 1u sin v cdot u cos v = -4 u sin v ln(u sin v) + 4 u cos^2 vsin v e .
Primeiro, para :
Para :

Passo 7

Finalmente, vamos calcular u = 2, v = pi6, sin(pi6) = 12, cos(pi6) = raiz32 e partial zpartial u = 4 cdot raiz32 ( ln(2 cdot 12) + 1 ) = 2raiz3 ( ln(1) + 1 ) = 2raiz3 no ponto partial zpartial v = -4 cdot 2 cdot 12 ln(1) + 4 cdot 2 cdot (raiz32)^212 = 0 + 12 = 12 .
Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Substituindo na expressão de :

Resposta

No ponto partial zpartial u = 2raiz3 , as derivadas parciais são:
partial zpartial v = 12

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