Resolver as seguintes equações diferenciais:
h)
.
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quinta ordem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Isso facilita encontrar as soluções da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, os coeficientes são:
-
-
-
(porque não tem ) -
(porque não tem ) -
-
Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de
. Esses valores vão nos ajudar a construir a solução geral da equação diferencial.
Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes racionais são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. No nosso caso, os possíveis valores são
e
.
Vamos testar
:
Como deu zero,
é uma raiz!
Passo 4
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fatorar
da equação característica:
Vamos focar na parte
e tentar encontrar mais raízes racionais. Testando
:
Então,
também é uma raiz.
Factorando
:
Agora, vamos resolver
. Testando
:
Então,
é uma outra raiz. Factorando
:
Finalmente, resolvemos
, que dá
.
Passo 5
Agora que encontramos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. As raízes são:
Cada raiz real
contribui com um termo da forma
, e cada par de raízes complexas
contribui com termos da forma
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Nos exercícios, (a) expresse
e
como função de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
c)
Nos exercícios, (a) expresse
e
como funções de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO
possui alguma solução:
a) ;
a)