Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de quinta ordem:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que transforma a equação diferencial em uma equação algébrica. Isso facilita encontrar as soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, os coeficientes são:
  • (porque não tem )
  • (porque não tem )
Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação característica para encontrar os valores de . Esses valores vão nos ajudar a construir a solução geral da equação diferencial.
Primeiro, vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que diz que possíveis raízes racionais são os fatores do termo constante divididos pelos fatores do coeficiente líder. No nosso caso, os possíveis valores são e .
Vamos testar :
Como deu zero, é uma raiz!

Passo 4

Agora que sabemos que é uma raiz, podemos fatorar da equação característica:
Vamos focar na parte e tentar encontrar mais raízes racionais. Testando :
Então, também é uma raiz.
Factorando :
Agora, vamos resolver . Testando :
Então, é uma outra raiz. Factorando :
Finalmente, resolvemos , que dá .

Passo 5

Agora que encontramos todas as raízes da equação característica, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. As raízes são:
Cada raiz real contribui com um termo da forma , e cada par de raízes complexas contribui com termos da forma e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Nos exercícios, (a) expresse e como função de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .
Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
Nos exercícios, (a) expresse e como funções de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .
Verifique para quais condições de contorno dadas a EDO possui alguma solução:
a) ;