Resolver as seguintes equações diferenciais:
c)
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui são as equações diferenciais lineares homogêneas de coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de equação, precisamos encontrar soluções que satisfaçam a equação original, geralmente usando o método dos polinômios característicos.
Passo 2
O primeiro passo para resolver essa equação é assumir que a solução tem a forma de uma função exponencial:
Aqui,
é um número que precisamos determinar. Essa suposição simplifica a equação, permitindo que trabalhemos com exponenciais em vez de funções desconhecidas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias da função
:
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
Passo 4
Podemos fatorar
da equação:
Como
nunca é zero, a equa��ão se reduz a:
Essa é a equação característica da equação diferencial.
Passo 5
Vamos resolver a equação característica:
Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 6
Como a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. sabendo-se após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.
Determine o limite da função 4 / (x-3) para
pela esquerda
- +3
- -3
- 0
-
-
Nos exercícios, (a) expresse
e
como função de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.
Resolver as seguintes equações diferenciais:
h) .
h)