Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. sabendo-se após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma população de bactérias que cresce proporcionalmente à quantidade que já está presente. Ou seja, quanto mais bactérias tiver, mais rápido elas crescem. Além disso, sabemos que essa população dobra depois de uma hora. Nosso objetivo é descobrir como a população varia ao longo do tempo (a função ) e quanto tempo vai levar para triplicar. Também vamos visualizar isso com um gráfico simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conceito de crescimento proporcional. Quando a taxa de crescimento de uma população é proporcional à sua atual, podemos modelar isso com uma equação diferencial:
Aqui, é a população no tempo , e é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever exponenciando ambos os lados:
Aqui, é a população inicial.

Passo 4

Sabemos que após uma hora, a população dobra, ou seja, . Vamos usar isso para encontrar :
Então, .

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a função :
Isso mostra que a população cresce exponencialmente, dobrando a cada hora.

Passo 6

Para encontrar o tempo necessário para que a população triplique, queremos . Vamos resolver para :

Passo 7

Finalmente, vamos esboçar o gráfico de em função do tempo. No eixo horizontal (x), colocamos o tempo , e no eixo vertical (y), a população . A curva será crescente e exponencial, passando por , , e .

Resposta

A população em função do tempo é . O tempo necessário para que a população triplique é aproximadamente 1,584 horas.

Exercícios relacionados

Determine o limite da função 4 / (x-3) para pela esquerda
  • +3
  • -3
  • 0
Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
Nos exercícios, (a) expresse e como função de e usando a regra da cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Depois (b) calcule e no ponto dado .
no ponto .