Uma população de bactérias cresce a uma taxa proporcional à população presente. sabendo-se após uma hora a população é 2 vezes a população inicial, determine a população como função do tempo e o tempo necessário para que a população triplique. faça um esboço do gráfico da população em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma população de bactérias que cresce proporcionalmente à quantidade que já está presente. Ou seja, quanto mais bactérias tiver, mais rápido elas crescem. Além disso, sabemos que essa população dobra depois de uma hora. Nosso objetivo é descobrir como a população varia ao longo do tempo (a função
) e quanto tempo vai levar para triplicar. Também vamos visualizar isso com um gráfico simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conceito de crescimento proporcional. Quando a taxa de crescimento de uma população é proporcional à sua atual, podemos modelar isso com uma equação diferencial:
Aqui,
é a população no tempo
, e
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação, separamos as variáveis e integramos:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever exponenciando ambos os lados:
Aqui,
é a população inicial.
Passo 4
Sabemos que após uma hora, a população dobra, ou seja,
. Vamos usar isso para encontrar
:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a função
:
Isso mostra que a população cresce exponencialmente, dobrando a cada hora.
Passo 6
Para encontrar o tempo necessário para que a população triplique, queremos
. Vamos resolver para
:
Passo 7
Finalmente, vamos esboçar o gráfico de
em função do tempo. No eixo horizontal (x), colocamos o tempo
, e no eixo vertical (y), a população
. A curva será crescente e exponencial, passando por
,
, e
.
Resposta
A população em função do tempo é
. O tempo necessário para que a população triplique é aproximadamente 1,584 horas.
Exercícios relacionados
Determine o limite da função 4 / (x-3) para
pela esquerda
- +3
- -3
- 0
-
-
Resolver as seguintes equações diferenciais:
c) .
c)
Nos exercícios, (a) expresse
e
como função de
e
usando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Depois (b) calcule
e
no ponto dado
.
no ponto
.