Nos exercícios seguintes, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa , explique por que ou dê um exemplo mostrando que é falsa.
b) integral-1^2 1x d x=ln |x|]-1^2=ln 2-ln 1=ln 2

Passo 1

Vamos analisar a afirmação apresentada:
integral-1^2 1x , dx = ln |x| |-1^2 = ln 2 - ln 1 = ln 2
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração da função . Para resolver isso, precisamos entender como calcular integrais definidas e lidar com funções que têm pontos problemáticos, como descontinuidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) de a é dada por:
onde é uma primitiva de .

Passo 3

No caso da função integral 1x , dx = ln |x| + C , uma primitiva é , pois a derivada de em relação a é . Então, a integral definida seria:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, aplicando os limites de integração de -1 a 2:
ln |2| - ln |-1| = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2
Isso sugere que a integral resulta em .

Passo 5

No entanto, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo de integração . Observamos que tem uma descontinuidade em , já que não está definido. Portanto, a integral definida de -1 a 2 envolve uma descontinuidade, tornando a integral imprópria.

Passo 6

Para avaliar a integral imprópria, precisamos dividir o intervalo em duas partes: limc to 0^- integral-1^c 1x , dx + limd to 0^+ integrald^2 1x , dx e limc to 0^- (ln |c| - ln 1) = limc to 0^- ln |c| = -infty e calcular os limites:
limd to 0^+ (ln 2 - ln |d|) = limd to 0^+ (ln 2 - ln d) = +infty
Calculando cada parte:
Como uma parte da integral tende a e a outra a , a integral total não converge.

Resposta

Falsa. A integral envolve uma descontinuidade em , o que faz com que a integral não seja definida.

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