Nos exercícios seguintes, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa , explique por que ou dê um exemplo mostrando que é falsa.
b)
Passo 1
Vamos analisar a afirmação apresentada:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração da função . Para resolver isso, precisamos entender como calcular integrais definidas e lidar com funções que têm pontos problemáticos, como descontinuidades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a) de a é dada por:
onde é uma primitiva de .
Passo 3
No caso da função integral 1x , dx = ln |x| + C , uma primitiva é , pois a derivada de em relação a é . Então, a integral definida seria:
onde é a constante de integração.
Passo 4
Agora, aplicando os limites de integração de -1 a 2:
ln |2| - ln |-1| = ln 2 - ln 1 = ln 2 - 0 = ln 2
Isso sugere que a integral resulta em .
Passo 5
No entanto, precisamos verificar se a função é contínua no intervalo de integração . Observamos que tem uma descontinuidade em , já que não está definido. Portanto, a integral definida de -1 a 2 envolve uma descontinuidade, tornando a integral imprópria.
Passo 6
Para avaliar a integral imprópria, precisamos dividir o intervalo em duas partes: limc to 0^- integral-1^c 1x , dx + limd to 0^+ integrald^2 1x , dx e limc to 0^- (ln |c| - ln 1) = limc to 0^- ln |c| = -infty e calcular os limites:
limd to 0^+ (ln 2 - ln |d|) = limd to 0^+ (ln 2 - ln d) = +infty
Calculando cada parte:
Como uma parte da integral tende a e a outra a , a integral total não converge.
Resposta
Falsa. A integral envolve uma descontinuidade em , o que faz com que a integral não seja definida.