Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
x^2 y'' - 3 x y' + 3 y = 2 x^4 e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de coeficientes variáveis:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, ignorando o termo da direita:
Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
Nesse tipo de equação, suponhamos que a solução seja da forma:

Passo 3

Vamos derivar :
Agora, substituímos , e na equação homogênea:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Fatorando :
Como nunca é zero (para ), podemos igualar a expressão entre colchetes a zero:
Expandindo:

Passo 5

Vamos resolver a equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o termo da direita é , vamos supor que a solução particular seja da forma:

Passo 8

Para determinar o valor de , substituímos , e na equação original e resolvemos para .
Primeiro, derivamos :

Passo 9

Substituindo na equação:
Substituindo , e :
Simplificando:

Passo 10

Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais:
  1. O termo com deve corresponder a , então

Passo 11

Resolvendo a equação :
Mas isso não coincide com , o que indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Nesse caso, como a solução homogênea não contém termos com , podemos manter .
Portanto, a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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