Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de coeficientes variáveis:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, ignorando o termo da direita:
Essa é uma equação do tipo Cauchy-Euler, que tem a forma geral:
Nesse tipo de equação, suponhamos que a solução seja da forma:
Passo 3
Vamos derivar
:
Agora, substituímos
,
e
na equação homogênea:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Fatorando
:
Como
nunca é zero (para
), podemos igualar a expressão entre colchetes a zero:
Expandindo:
Passo 5
Vamos resolver a equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o termo da direita é
, vamos supor que a solução particular seja da forma:
Passo 8
Para determinar o valor de
, substituímos
,
e
na equação original e resolvemos para
.
Primeiro, derivamos
:
Passo 9
Substituindo na equação:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Passo 10
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais:
-
-
- O termo com
deve corresponder a , então →
Passo 11
Resolvendo a equação
:
Mas isso não coincide com
, o que indica que nossa suposição inicial precisa ser ajustada. Nesse caso, como a solução homogênea não contém termos com
, podemos manter
.
Portanto, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.