Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, especificamente o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea primeiro e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial equidimensional, também conhecida como equação de Cauchy-Euler. Nesse tipo de equação, tentamos soluções da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 4
Agora, igualamos o coeficiente a zero para encontrar os valores de
:
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla:
.
Passo 5
Como a raiz
é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, vamos propor uma solução particular da forma:
Mas observando a equação homogênea, já temos soluções que são múltiplos de
e
. Para evitar soluções coincidentes, escolhemos
e adicionamos um fator
:
Para simplificar, vamos tentar:
E calcularemos suas derivadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Essa igualdade não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial para
não está funcionando completamente. Portanto, precisamos ajustar nossa hipótese para a solução particular.
Passo 9
Vamos tentar outra forma para
. Considerando que o termo não homogêneo é
, vamos propor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso também não funciona. Então, vamos tentar uma solução com
:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ainda não funciona. Vamos então tentar incluir um termo constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 10
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
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