Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes variáveis, especificamente o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea primeiro e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial equidimensional, também conhecida como equação de Cauchy-Euler. Nesse tipo de equação, tentamos soluções da forma .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 4

Agora, igualamos o coeficiente a zero para encontrar os valores de :
Resolvendo a equação quadrática:
Temos uma raiz dupla: .

Passo 5

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , vamos propor uma solução particular da forma:
Mas observando a equação homogênea, já temos soluções que são múltiplos de e . Para evitar soluções coincidentes, escolhemos e adicionamos um fator :
Para simplificar, vamos tentar:
E calcularemos suas derivadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Essa igualdade não faz sentido, o que indica que nossa suposição inicial para não está funcionando completamente. Portanto, precisamos ajustar nossa hipótese para a solução particular.

Passo 9

Vamos tentar outra forma para . Considerando que o termo não homogêneo é , vamos propor:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso também não funciona. Então, vamos tentar uma solução com :
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Ainda não funciona. Vamos então tentar incluir um termo constante:
Derivando:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:

Passo 10

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.
Resolva cada equação diferencial pelo método de variação de parâmetros.
Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
Nos exercícios seguintes, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa , explique por que ou dê um exemplo mostrando que é falsa.
b)