Utilizando a linearização, prove que:
a) (1+x)^{k} aprox 1+k x, x -> 0
b) sen(x) ≈ x, x → 0
c) e^x ≈ 1 + x, x → 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede pra usar a linearização para provar algumas aproximações quando tende a zero. A matéria aqui é cálculo, especificamente a parte de linearização ou aproximação linear. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como aproximar funções usando sua derivada no ponto em questão, que nesse caso é .

Passo 2

a) , quando

Passo 2.1: Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função. A linearização de uma função perto de um ponto é dada por:
Aqui, vamos usar .
Passo 2.2: Seja . Vamos calcular e .
  • Calculando :
  • Calculando :
Então,
Passo 2.3: Agora, aplicando a fórmula da linearização:
Assim, provamos que quando tende a zero.

Passo 3

b) , quando

Passo 3.1: Vamos usar a linearização novamente. Seja .
Passo 3.2: Calculando e :
Passo 3.3: Aplicando a linearização:
Portanto, quando tende a zero.

Passo 4

c) , quando

Passo 4.1: Mais uma vez, vamos usar a linearização. Seja .
Passo 4.2: Calculando e :
Passo 4.3: Aplicando a linearização:
Assim, mostramos que quando tende a zero.

Resposta

Utilizando a linearização, provamos que:
a) ,
b) ,
c) ,
quando tende a zero.

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, calcule as integrais definidas.
integral0^1 d yraiz3 y+1 d y
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=xraizx^2+y^2
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x y|x y|
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^2-y^2x^2+y^2