Utilizando a linearização, prove que:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede pra usar a linearização para provar algumas aproximações quando
tende a zero. A matéria aqui é cálculo, especificamente a parte de linearização ou aproximação linear. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como aproximar funções usando sua derivada no ponto em questão, que nesse caso é
.
Passo 2
a)
, quando
Passo 2.1: Primeiro, vamos lembrar o que é a linearização de uma função. A linearização de uma função
perto de um ponto
é dada por:
Aqui, vamos usar
.
Passo 2.2: Seja
. Vamos calcular
e
.
- Calculando
:
- Calculando
:
Então,
Passo 2.3: Agora, aplicando a fórmula da linearização:
Assim, provamos que
quando
tende a zero.
Passo 3
b)
, quando
Passo 3.1: Vamos usar a linearização novamente. Seja
.
Passo 3.2: Calculando
e
:
Passo 3.3: Aplicando a linearização:
Portanto,
quando
tende a zero.
Passo 4
c)
, quando
Passo 4.1: Mais uma vez, vamos usar a linearização. Seja
.
Passo 4.2: Calculando
e
:
Passo 4.3: Aplicando a linearização:
Assim, mostramos que
quando
tende a zero.
Resposta
Utilizando a linearização, provamos que:
a) ,
b) ,
c) ,
quando tende a zero.
a)
b)
c)
quando
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, calcule as integrais definidas.
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde