Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite de
quando
se aproxima de
não existe. Vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar diferentes caminhos para ver se o limite é consistente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função basicamente retorna
se
for positivo e
se
for negativo, desde que
.
Passo 3
Para investigar o limite, vamos abordar
por diferentes caminhos e verificar os valores que a função assume. Se obtivermos limites diferentes por caminhos distintos, isso significa que o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 6
Observamos que os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido:
pelo caminho
e
pelo caminho
.
Resposta
Como os limites por caminhos diferentes são distintos, concluímos que
não existe.
Exercícios relacionados
Utilizando a linearização, prove que:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Nos exercícios a seguir, calcule as integrais definidas.
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde