Nos exercícios a seguir, desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 <= y <= 4 - x^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenhar o conjunto , que inclui todos os pontos onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas e áreas delimitadas por elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam o conjunto . A desigualdade representa uma parábola. Essa parábola tem a concavidade voltada para baixo porque o coeficiente de é negativo.

Passo 3

O conjunto é definido entre e . Isso significa que, para cada valor de , o valor de varia de 0 até o valor dado pela parábola .

Passo 4

Para desenhar o conjunto , vamos traçar duas curvas no plano cartesiano:
  1. A parábola .
  2. A linha reta (que é o eixo ).
A região entre essas duas curvas será o conjunto .

Passo 5

Agora, vamos calcular a área do conjunto . Para isso, precisamos integrar a função que define a parábola no intervalo onde ela intersecta o eixo .

Passo 6

Primeiro, encontramos os pontos onde a parábola cruza o eixo . Isso ocorre quando :
Então, os limites de integração serão de a .

Passo 7

A área pode ser calculada pela integral definida da função de a :

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Parece que houve um erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Então:

Resposta

A área do conjunto é unidades de área.

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