Nos exercícios a seguir, desenhe o conjunto
dado e calcule a área.
é o conjunto de todos
tais que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos desenhar o conjunto
, que inclui todos os pontos
onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas e áreas delimitadas por elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as curvas que delimitam o conjunto
. A desigualdade
representa uma parábola. Essa parábola tem a concavidade voltada para baixo porque o coeficiente de
é negativo.
Passo 3
O conjunto
é definido entre
e
. Isso significa que, para cada valor de
, o valor de
varia de 0 até o valor dado pela parábola
.
Passo 4
Para desenhar o conjunto
, vamos traçar duas curvas no plano cartesiano:
- A parábola
. - A linha reta
(que é o eixo ).
A região entre essas duas curvas será o conjunto
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área do conjunto
. Para isso, precisamos integrar a função que define a parábola no intervalo onde ela intersecta o eixo
.
Passo 6
Primeiro, encontramos os pontos onde a parábola cruza o eixo
. Isso ocorre quando
:
Então, os limites de integração serão de
a
.
Passo 7
A área
pode ser calculada pela integral definida da função
de
a
:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Parece que houve um erro na conta anterior. Vamos corrigir:
Então:
Resposta
A área do conjunto
é
unidades de área.
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Calcule.
Calcule.
A função
é derivável e atinge valor mínimo
em
. Assinale a equação da reta tangente ao gráfico de
nesse ponto.
(A) .
(B) .
© .
(D) .
(E) .
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Em quantos pontos no gráfico da função
sua reta tangente é paralela à reta
?
(A) Nenhum.
(B) 1 .
© 2 .
(D) 3 .
(E) 4 .
(A) Nenhum.
(B) 1 .
© 2 .
(D) 3 .
(E) 4 .