A função f(x) é derivável e atinge valor mínimo y = 0 em x = 0.5. Assinale a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) nesse ponto.
(A) y = 0.
(B) y = 2 x.
© y = x.
(D) y = 1.
(E) y = 2x + 1.

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é diferenciável e atinge o valor mínimo de quando . O conteúdo aqui envolve derivadas e retas tangentes. A gente vai precisar encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto e usar a equação da reta para descobrir qual das opções está certa.

Passo 2

Primeiro, como atinge um mínimo em , isso significa que a derivada da função nesse ponto é zero. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente. Então, temos:
Isso nos diz que a reta tangente é horizontal.

Passo 3

Agora, sabendo que a reta tangente é horizontal, a inclinação da reta é zero. A equação geral da reta é:
Substituindo :

Passo 4

Para encontrar , usamos o ponto onde a reta tangente toca a função, que é . Substituindo na equação:
Então, .

Resposta

A equação da reta tangente é . Portanto, a opção correta é a (A) .

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