Nos exercícios a seguir, determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas
e
. Isso envolve entender como essas curvas se comportam e descobrir onde elas se cruzam. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dará os pontos de interseção, que são importantes para definir os limites da nossa área.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação que obtivemos:
Vamos reorganizar os termos para formar uma equação quadrática padrão:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Então, os pontos de interseção ocorrem em
e
.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
Para facilitar, escolhemos um valor de
entre -1 e 3, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, configuramos a integral para calcular a área entre as curvas de
a
. A fórmula para a área
é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos agora integrar a função
de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Resolva em
as inequações abaixo:
(e) ;
(e)
Resolva em
as inequações simultâneas abaixo:
(a) ;
(a)
Resolva em
as inequações abaixo:
(b) ;
(b)
Resolva em
as inequações simultâneas abaixo:
(b) .
(b)