Nos exercícios a seguir, determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
y = -1 - x^2 e y = -2x - 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está limitada pelas curvas e . Isso envolve entender como essas curvas se comportam e descobrir onde elas se cruzam. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se intersectam. Para isso, igualamos as duas equações:
Isso nos dará os pontos de interseção, que são importantes para definir os limites da nossa área.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação que obtivemos:
Vamos reorganizar os termos para formar uma equação quadrática padrão:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Então, os pontos de interseção ocorrem em e .

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos determinar qual função está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
Para facilitar, escolhemos um valor de entre -1 e 3, por exemplo, :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Agora, configuramos a integral para calcular a área entre as curvas de a . A fórmula para a área é:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos agora integrar a função de a :
Calculando em :
Calculando em :
Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

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(e) |3x - 2| < 4;
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