Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos a função
e um ponto específico
no gráfico dessa função. O objetivo é encontrar a equação da reta que toca essa curva exatamente nesse ponto, ou seja, a reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da função. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicando a regra de potência para derivadas, que diz que se
, então
. Assim:
Passo 3
Com a derivada encontrada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Para isso, substituímos
na derivada:
Agora, precisamos calcular
. Lembre-se que
, então:
Portanto:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 4
Agora que temos a inclinação da reta, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto conhecido
com inclinação
:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma mais comum,
:
Agora, somamos 2 dos dois lados para isolar
:
Convertendo 2 em fração com denominador 3:
Então:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.