Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função no ponto indicado:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos a função e um ponto específico no gráfico dessa função. O objetivo é encontrar a equação da reta que toca essa curva exatamente nesse ponto, ou seja, a reta tangente. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Agora, aplicando a regra de potência para derivadas, que diz que se , então . Assim:

Passo 3

Com a derivada encontrada, vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, substituímos na derivada:
Agora, precisamos calcular . Lembre-se que , então:
Portanto:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Agora que temos a inclinação da reta, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto conhecido com inclinação :
Substituindo , e :

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma mais comum, :
Agora, somamos 2 dos dois lados para isolar :
Convertendo 2 em fração com denominador 3:
Então:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .
Nos exercícios a seguir, determine utilizando a definição de derivada:
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