Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função no ponto dado. Esboce o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo de . Queremos estudar se essa função é contínua e diferenciável no ponto . Para isso, precisamos lembrar o que são continuidade e diferenciabilidade, e como verificar isso em um ponto específico. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . A função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Isso porque para , .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Aqui, para , , então o limite é 1.

Passo 5

O valor da função no ponto é:

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função no ponto, concluímos que é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade de em . Uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) são iguais.

Passo 8

Vamos calcular a derivada da função pela esquerda ( ):
Já que é uma constante, a derivada é 0.

Passo 9

Agora, calculamos a derivada da função pela direita ( ):
Aqui, , então a derivada é 1.

Passo 10

As derivadas laterais são diferentes:

Passo 11

Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, concluímos que não é diferenciável em .

Passo 12

Por fim, vamos esboçar o gráfico de :
  • Para , , que é uma reta horizontal no nível 1.
  • Para , , que é uma reta com inclinação 1 passando pela origem.
No ponto , ambas as partes se encontram em , garantindo a continuidade, mas como as inclinações são diferentes, há um “canto” no gráfico, indicando que a função não é diferenciável ali.

Resposta

A função é contínua em mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de apresenta uma reta horizontal para e uma reta com inclinação 1 para , conectando-se suavemente no ponto .

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