Nos exercícios a seguir, estude a continuidade e a diferenciabilidade da função
no ponto
dado. Esboce o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de duas maneiras diferentes dependendo de
. Queremos estudar se essa função é contínua e diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos lembrar o que são continuidade e diferenciabilidade, e como verificar isso em um ponto específico. Além disso, vamos esboçar o gráfico dessa função para visualizar melhor.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
em
. A função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Isso porque para
,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Aqui, para
,
, então o limite é 1.
Passo 5
O valor da função no ponto
é:
Passo 6
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função no ponto, concluímos que
é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade de
em
. Uma função é diferenciável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) são iguais.
Passo 8
Vamos calcular a derivada da função pela esquerda (
):
Já que
é uma constante, a derivada é 0.
Passo 9
Agora, calculamos a derivada da função pela direita (
):
Aqui,
, então a derivada é 1.
Passo 10
As derivadas laterais são diferentes:
Passo 11
Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, concluímos que
não é diferenciável em
.
Passo 12
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
:
- Para
, , que é uma reta horizontal no nível 1. - Para
, , que é uma reta com inclinação 1 passando pela origem.
No ponto
, ambas as partes se encontram em
, garantindo a continuidade, mas como as inclinações são diferentes, há um “canto” no gráfico, indicando que a função não é diferenciável ali.
Resposta
A função
é contínua em
mas não é diferenciável nesse ponto. O gráfico de
apresenta uma reta horizontal para
e uma reta com inclinação 1 para
, conectando-se suavemente no ponto
.
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Nos exercícios a seguir, determine
utilizando a definição de derivada:
Forneça a equação da reta tangente à curva do gráficc da função
no ponto
indicado:
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