Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma função de duas variáveis, . O que precisamos fazer é:
a) Encontrar o domínio da função,
b) Encontrar a imagem da função,
c) Descrever as curvas de nível da função,
d) Encontrar a fronteira do domínio da função,
e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas,
f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado.
Vamos por partes para entender cada um desses pontos!

Passo 2

a) Encontrar o domínio da função
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida.
Nossa função é . Sabemos que o logaritmo natural, , só está definido para números positivos. Então, precisamos garantir que o argumento do logaritmo seja maior que zero:
Isso significa que o domínio da função são todos os pontos no plano que estão fora do círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

b) Encontrar a imagem da função
A imagem da função é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir.
Sabemos que . Como , o argumento do logaritmo pode variar de números muito próximos de 0 (quando é pouco maior que 1) até o infinito.
  • Quando se aproxima de 1, se aproxima de .
  • Quando tende ao infinito, também tende ao infinito.
Portanto, a imagem da função é todos os números reais, .

Passo 4

c) Descrever as curvas de nível da função
As curvas de nível são conjuntos de pontos que satisfazem , onde é uma constante.
Então, temos:
Isso representa círculos com raio centrados na origem. Conforme varia, o raio desses círculos muda:
  • Se aumenta, aumenta, então o raio aumenta.
  • Se diminui, diminui, e o raio diminui, mas sempre maior que 1.

Passo 5

d) Encontrar a fronteira do domínio da função
A fronteira do domínio é o limite que separa o domínio da função do resto do plano.
Nosso domínio é definido por . A fronteira ocorre quando , que é justamente o círculo de raio 1 centrado na origem.

Passo 6

e) Determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas
Uma região é:
  • Aberta se não inclui sua fronteira.
  • Fechada se inclui toda a sua fronteira.
  • Nenhuma das duas se incluir parte da fronteira, mas não todas.
No nosso caso, o domínio é , que não inclui a fronteira . Portanto, o domínio é uma região aberta.

Passo 7

f) Decidir se o domínio é limitado ou não limitado
Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito. Caso contrário, é não limitado.
O domínio se estende até o infinito em todas as direções, não há um “limite” externo onde os pontos deixam de pertencer ao domínio. Portanto, o domínio é não limitado.

Resposta

a) O domínio da função é .
b) A imagem da função é .
c) As curvas de nível são círculos de raio centrados na origem.
d) A fronteira do domínio é o círculo .
e) O domínio é uma região aberta.
f) O domínio é não limitado.

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A região entre as curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante: ; em torno de .
(1 ponto) Todo problema de valor inicial (PVI) tem uma única solução.