Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem. sumn=1^infty 4 n^2-2 n+68 n^7+n-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste de comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra mais simples que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Quando fica bem grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador são os que dominam o comportamento da fração. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
4n^28n^7 = 48 cdot n^2n^7 = 12 cdot 1n^5 = 12n^5
Então, a série que vamos usar para comparar é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste de comparação no limite. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando limn to infty 4n^2-2n+68n^7+n-81n^5 = limn to infty (4n^2-2n+6) cdot n^58n^7+n-8 tende ao infinito:
= limn to infty 4n^7 - 2n^6 + 6n^58n^7 + n - 8
Simplificando:
= limn to infty 4 - 2n + 6n^28 + 1n^6 - 8n^7 = 48 = 12
Agora, dividimos todos os termos pelo maior expoente de , que é :
O limite é , que é um número positivo e finito.

Passo 5

Como o limite é um número positivo e finito, o teste de comparação no limite nos diz que a série original tem o mesmo comportamento que a série de comparação .
Sabemos que converge se . Aqui, , que é maior que 1, então a série de comparação converge. Portanto, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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