Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste de comparação no limite para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra mais simples que a gente já conhece o comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série: . Quando fica bem grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador são os que dominam o comportamento da fração. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
Então, a série que vamos usar para comparar é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste de comparação no limite. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando tende ao infinito:
Simplificando:
Agora, dividimos todos os termos pelo maior expoente de , que é :
O limite é , que é um número positivo e finito.

Passo 5

Como o limite é um número positivo e finito, o teste de comparação no limite nos diz que a série original tem o mesmo comportamento que a série de comparação .
Sabemos que converge se . Aqui, , que é maior que 1, então a série de comparação converge. Portanto, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.