Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste de comparação no limite para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos comparar essa série com outra mais simples que a gente já conhece o comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
. Quando
fica bem grande, os termos de maior grau no numerador e no denominador são os que dominam o comportamento da fração. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão considerando apenas os termos de maior grau:
Então, a série que vamos usar para comparar é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste de comparação no limite. Precisamos calcular o limite da razão entre os termos das duas séries quando
tende ao infinito:
Simplificando:
Agora, dividimos todos os termos pelo maior expoente de
, que é
:
O limite é
, que é um número positivo e finito.
Passo 5
Como o limite é um número positivo e finito, o teste de comparação no limite nos diz que a série original
tem o mesmo comportamento que a série de comparação
.
Sabemos que
converge se
. Aqui,
, que é maior que 1, então a série de comparação converge. Portanto, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Use o teste de comparação no limite para determinar se as séries convergem ou divergem.
Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.