Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teste da Razão para saber se a série sumn=1^infty 2^nn! converge ou diverge. O Teste da Razão é uma técnica de cálculo de séries que nos ajuda a determinar a convergência ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral an é dado por:
an = 2^nn!

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Isso significa que precisamos calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual à medida que n tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
L = limn to infty an+1an

Passo 4

Substituindo an+1 e an na expressão, temos:
an+1an = 2^n+1(n+1)!2^nn! = 2^n+1 cdot n!2^n cdot (n+1)!

Passo 5

Simplificando a expressão:
2^n+12^n = 2 n!(n+1)! = 1n+1
Então, a razão fica:
an+1an = 2 cdot 1n+1 = 2n+1

Passo 6

Agora, calculamos o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2n+1 = 0

Passo 7

Segundo o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 0 que é menor que 1, então a série converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^nn! converge.

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