O gráfico da função
é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
© o conjunto imagem de
;
© o conjunto imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o conjunto imagem da função
. O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e raízes quadradas, e vamos precisar entender como identificar os valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto imagem. Basicamente, é o conjunto de todos os valores que
pode produzir quando substituímos
por todos os valores do domínio da função.
Passo 3
Para que a função
seja real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
A desigualdade
será satisfeita entre as raízes, ou seja, para
no intervalo
. Portanto, o domínio da função
é:
Passo 7
Agora, para encontrar o conjunto imagem, precisamos ver quais valores
pode assumir nesse domínio. A função
vai variar conforme a expressão dentro da raiz.
Passo 8
Vamos encontrar o valor máximo de
. Como é uma parábola com concavidade para baixo (
), o máximo ocorre no vértice. A fórmula para encontrar o
do vértice é:
Passo 9
Substituindo
na expressão dentro da raiz:
Então, o valor máximo de
é 4, e portanto:
Passo 10
Nos pontos
e
, a expressão dentro da raiz é zero:
Então,
varia de 0 até 2.
Resposta
O conjunto imagem de
é o intervalo
.