Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o conjunto imagem da função . O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e raízes quadradas, e vamos precisar entender como identificar os valores que a função pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto imagem. Basicamente, é o conjunto de todos os valores que pode produzir quando substituímos por todos os valores do domínio da função.
Passo 3
Para que a função seja real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 5
Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 6
A desigualdade será satisfeita entre as raízes, ou seja, para no intervalo . Portanto, o domínio da função é:
Passo 7
Agora, para encontrar o conjunto imagem, precisamos ver quais valores pode assumir nesse domínio. A função vai variar conforme a expressão dentro da raiz.
Passo 8
Vamos encontrar o valor máximo de . Como é uma parábola com concavidade para baixo (), o máximo ocorre no vértice. A fórmula para encontrar o do vértice é: