O gráfico da função é mostrado a seguir. Com base no gráfico, determine:
© o conjunto imagem de ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar o conjunto imagem da função . O conteúdo aqui envolve funções quadráticas e raízes quadradas, e vamos precisar entender como identificar os valores que a função pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto imagem. Basicamente, é o conjunto de todos os valores que pode produzir quando substituímos por todos os valores do domínio da função.

Passo 3

Para que a função seja real, o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos que:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre-se que isso inverte o sinal da desigualdade):

Passo 5

Agora, vamos encontrar as raízes da equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 6

A desigualdade será satisfeita entre as raízes, ou seja, para no intervalo . Portanto, o domínio da função é:

Passo 7

Agora, para encontrar o conjunto imagem, precisamos ver quais valores pode assumir nesse domínio. A função vai variar conforme a expressão dentro da raiz.

Passo 8

Vamos encontrar o valor máximo de . Como é uma parábola com concavidade para baixo ( ), o máximo ocorre no vértice. A fórmula para encontrar o do vértice é:

Passo 9

Substituindo na expressão dentro da raiz:
Então, o valor máximo de é 4, e portanto:

Passo 10

Nos pontos e , a expressão dentro da raiz é zero:
Então, varia de 0 até 2.

Resposta

O conjunto imagem de é o intervalo .

Exercícios relacionados

Expresse as funções abaixo como , de modo que e não sejam a função identidade.
(e)
Expresse as funções abaixo como , de modo que e não sejam a função identidade.
(d)
Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.