Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty (n-1)!(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o teste da razão para descobrir se a série sumn=1^infty (n-1)!(n+1)^2 converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta matemática que nos ajuda a analisar séries infinitas para ver se elas somam a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = (n-1)!(n+1)^2. O próximo passo é calcular a razão entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja, an+1an.

Passo 3

Calculando a razão:
an+1an = n!(n+2)^2(n-1)!(n+1)^2 = n!(n-1)! cdot (n+1)^2(n+2)^2 = n cdot (n+1)^2(n+2)^2
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando n tende ao infinito:
L = limn to infty n cdot (n+1)^2(n+2)^2
Simplificando:
L = limn to infty n cdot ( n+1n+2 )^2 = limn to infty n cdot ( 1 + 1n1 + 2n )^2 = infty

Passo 4

Como o limite L é infinito e, portanto, maior que 1, pelo teste da razão, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (n-1)!(n+1)^2 diverge pelo teste da razão.

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