Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty n+23^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Razão para descobrir se a série converge ou diverge. O Teste da Razão é uma ferramenta que nos ajuda a analisar séries infinitas, especialmente aquelas que têm termos com potências ou fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A gente calcula o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde é o termo geral da série. Dependendo do valor de , a série pode convergir ou divergir:
  • Se : a série converge absolutamente.
  • Se : a série diverge.
  • Se : o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n+23^n na nossa série. Aqui, temos:
an+1 = (n+1)+23^n+1 = n+33^n+1
Então, o próximo termo será:

Passo 4

Agora, vamos montar a razão an+1an = n+33^n+1n+23^n = n+33^n+1 times 3^nn+2 = n+33(n+2) :

Passo 5

Simplificando a expressão:
an+1an = n+33(n+2) = 13 times n+3n+2

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 13 times n+3n+2 tende ao infinito:
n+3n+2 approx nn = 1
Como L = 13 times 1 = 13 fica muito grande, os termos e se tornam insignificantes comparados a , então:
Então:

Resposta

Como , pela Teste da Razão, a série converge.

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