Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=1^infty 2^n+1n 3^n-1

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para usar o teste da razão para descobrir se a série
sumn=1^infty 2^n+1n cdot 3^n-1
converge ou diverge. O teste da razão é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o teste da razão. Ele diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
- Se L < 1, a série converge.
- Se L > 1, a série diverge.
- Se L = 1, o teste não dá informação.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral an da nossa série:
an = 2^n+1n cdot 3^n-1

Passo 4

Precisamos encontrar an+1, que é o próximo termo da série:

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão an+1an:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
2^n+22^n+1 = 2^(n+2)-(n+1) = 2^1 = 2
3^n-13^n = 3^(n-1)-n = 3^-1 = 13
Então:
an+1an = 2 cdot n3 cdot (n+1)

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2n3(n+1) = limn to infty 23 cdot nn+1
Como nn+1 tende a 1 quando n cresce, temos:
L = 23 cdot 1 = 23

Resposta

Como L = 23 < 1, segundo o teste da razão, a série converge.

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