Nos Exercícios 1-8, utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
sumn=2^infty 3^n+2ln n

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=2^infty 3^n+2ln n
E queremos descobrir se essa série converge ou diverge usando o Teste da Razão, que faz parte do estudo de Séries Numéricas em Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A ideia é calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral an = 3^n+2ln n da série:
an+1 = 3^(n+1)+2ln (n+1) = 3^n+3ln (n+1)
E o termo seguinte:

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = 3^n+3ln (n+1) times ln n3^n+2 = 3 times ln nln (n+1) :

Passo 5

Vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty 3 times ln nln (n+1) tende ao infinito:
ln nln (n+1) approx 1
Sabemos que, para números grandes, L = 3 times 1 = 3 é praticamente igual a , então:
Portanto:

Passo 6

Interpretando o resultado:
L = 3 > 1
Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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