Suponha que uma função é analítica em um ponto de um arco suave . Mostre que se , então
quando .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função que é analítica num ponto específico de um arco suave dado por , onde varia de até . Queremos mostrar que se a gente define , então a derivada de em relação a é igual a multiplicada pela derivada de em relação a , ou seja:
Isso está relacionado com o Teorema da Cadeia, que é uma regra de derivação para funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar essa regra no contexto de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função é analítica em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. Isso é importante porque garante que podemos aplicar as regras de derivação, como o Teorema da Cadeia.

Passo 3

Agora, considere que temos . Aqui, é uma função composta: primeiro aplicamos e depois aplicamos no resultado dessa primeira função. Para encontrar a derivada de em relação a , vamos precisar usar o Teorema da Cadeia.

Passo 4

O Teorema da Cadeia nos diz que se temos duas funções compostas e onde e é diferenciável em , então a derivada de em relação a é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 5

Para finalizar, precisamos garantir que tudo está válido no ponto . Como é analítica em e é uma curva suave (ou seja, é diferenciável em ), podemos aplicar o Teorema da Cadeia sem problemas.

Resposta

Portanto, mostramos que:
quando .

Exercícios relacionados

O experimento funcionaria se o tubo de vidro fosse colocado na vertical? Explique.
Mostre que se é contínua no intervalo , então
b) seja uma função diferenciável tal que e então
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.
Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é :
    b) o semicírculo ;
Para os exercícios 7-YY, dada uma função e um contorno , use parametrizações de , ou pedaços de , para calcular
  1. e é o arco de a consistindo do
    b) segmento do eixo real.