Suponha que uma função
é analítica em um ponto
de um arco suave
. Mostre que se
, então
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é analítica num ponto específico
de um arco suave dado por
, onde
varia de
até
. Queremos mostrar que se a gente define
, então a derivada de
em relação a
é igual a
multiplicada pela derivada de
em relação a
, ou seja:
Isso está relacionado com o Teorema da Cadeia, que é uma regra de derivação para funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar essa regra no contexto de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função
é analítica em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. Isso é importante porque garante que podemos aplicar as regras de derivação, como o Teorema da Cadeia.
Passo 3
Agora, considere que temos
. Aqui,
é uma função composta: primeiro aplicamos
e depois aplicamos
no resultado dessa primeira função. Para encontrar a derivada de
em relação a
, vamos precisar usar o Teorema da Cadeia.
Passo 4
O Teorema da Cadeia nos diz que se temos duas funções compostas
e
onde
e
é diferenciável em
, então a derivada de
em relação a
é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
e
, temos:
Passo 5
Para finalizar, precisamos garantir que tudo está válido no ponto
. Como
é analítica em
e
é uma curva suave (ou seja,
é diferenciável em
), podemos aplicar o Teorema da Cadeia sem problemas.
Resposta
Portanto, mostramos que:
quando
.
Exercícios relacionados
O experimento funcionaria se o tubo de vidro fosse colocado na vertical? Explique.
Mostre que se
é contínua no intervalo
, então
b) seja uma função diferenciável tal que
e
então
b) seja
Dica: Essas expressões podem ser obtidas utilizando as propriedades equivalentes para funções reais.
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é :
b) o semicírculo;
Para os exercícios 7-YY, dada uma função
e um contorno
, use parametrizações de
, ou pedaços de
, para calcular
-
e é o arco de a consistindo do
b) segmentodo eixo real.