Suponha que uma função f(z) é analítica em um ponto z0 = z(t0) de um arco suave z = z(t), a <= t <= b. Mostre que se w(t) = f(z(t)), então
w'(t) = f'(z(t)) z'(t)
quando t = t0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função f(z) que é analítica num ponto específico de um arco suave dado por , onde t varia de a até b. Queremos mostrar que se a gente define , então a derivada de w em relação a t é igual a multiplicada pela derivada de z em relação a t, ou seja:
Isso está relacionado com o Teorema da Cadeia, que é uma regra de derivação para funções compostas. Vamos precisar entender como aplicar essa regra no contexto de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica. Uma função f(z) é analítica em um ponto se ela é diferenciável naquele ponto e em uma vizinhança ao redor dele. Isso é importante porque garante que podemos aplicar as regras de derivação, como o Teorema da Cadeia.

Passo 3

Agora, considere que temos . Aqui, w é uma função composta: primeiro aplicamos z(t) e depois aplicamos f no resultado dessa primeira função. Para encontrar a derivada de w em relação a t, vamos precisar usar o Teorema da Cadeia.

Passo 4

O Teorema da Cadeia nos diz que se temos duas funções compostas g(t) e onde e h é diferenciável em u, então a derivada de em relação a t é:
Aplicando isso ao nosso caso, onde e , temos:

Passo 5

Para finalizar, precisamos garantir que tudo está válido no ponto . Como f(z) é analítica em e z(t) é uma curva suave (ou seja, z(t) é diferenciável em ), podemos aplicar o Teorema da Cadeia sem problemas.

Resposta

Portanto, mostramos que:
quando .

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