Nos exerécíos de 5 a 42 calcular a derivada. f(t) = e^(t / 2) * (t^2 + 5 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando a Regra do Produto. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções exponenciais e polinomiais, e como aplicar a regra do produto quando duas funções estão multiplicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas na nossa função . Temos:
A Regra do Produto diz que a derivada de é:
Ou seja, derivamos uma função de cada vez e depois somamos os produtos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e separadamente.
Primeiro, a derivada de :
A derivada de em relação a é . Aqui, , então:
Agora, a derivada de :
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar isso:
Podemos fatorar em comum:
Simplificando dentro do colchete:

Resposta

A derivada de é:

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