Nos exerécíos de 5 a 42 calcular a derivada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que envolvem logaritmos e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da função que precisamos derivar. A função é composta por um numerador e um denominador . Para derivar essa função, usaremos a regra do quociente, que nos permite derivar uma função que é o quociente de duas outras funções.

Passo 3

A regra do quociente diz que se temos uma função , sua derivada é dada por:
Aqui, e . Vamos derivar e separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos . A derivada de em relação a é simplesmente 1:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar composições de funções. A regra da cadeia diz que se , então:
Aqui, . Vamos derivar .

Passo 6

A derivada de é :
Portanto, a derivada de é:
Onde é a função cotangente hiperbólica.

Passo 7

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do quociente:

Resposta

A derivada de é:

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