Nos exerécíos de 5 a 42 calcular a derivada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções que envolvem logaritmos e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes da função que precisamos derivar. A função
é composta por um numerador
e um denominador
. Para derivar essa função, usaremos a regra do quociente, que nos permite derivar uma função que é o quociente de duas outras funções.
Passo 3
A regra do quociente diz que se temos uma função
, sua derivada é dada por:
Aqui,
e
. Vamos derivar
e
separadamente.
Passo 4
Primeiro, derivamos
. A derivada de
em relação a
é simplesmente 1:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Para isso, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar composições de funções. A regra da cadeia diz que se
, então:
Aqui,
. Vamos derivar
.
Passo 6
A derivada de
é
:
Portanto, a derivada de
é:
Onde
é a função cotangente hiperbólica.
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do quociente:
Resposta
A derivada de
é:
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