Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para cada um dos subespaços , , e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e bases. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Passo 2
Vamos começar com o subespaço , definido por:
Isso significa que em qualquer vetor de , todas as coordenadas são iguais.
Passo 3
Para encontrar uma base para , precisamos identificar vetores que satisfaçam essa condição e que sejam linearmente independentes. Como todas as coordenadas são iguais, podemos representar qualquer vetor de como , onde é um número real qualquer.
Passo 4
Observamos que todo vetor em é múltiplo de . Isso significa que apenas esse vetor é necessário para gerar todos os vetores de , e ele não pode ser escrito como múltiplo de outro vetor não nulo.
Passo 5
Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas o vetor :
Passo 6
Agora, vamos para o subespaço G = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 e x3 = x4 , definido por:
Aqui, há duas condições: e .
Passo 7
Qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso mostra que é um subespaço de dimensão 2.
Passo 8
Para encontrar uma base, precisamos de dois vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todos os vetores de . Podemos escolher e .
Passo 9
Esses vetores são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo do outro, e qualquer vetor em a 1 1 0 0 + b 0 0 1 1 = a a b b pode ser obtido como uma combinação linear deles:
Passo 10
Portanto, uma base para Base de G = 1 1 0 0 , 0 0 1 1 é:
Passo 11
Vamos seguir para o subespaço H = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 = x2 = x3 , definido por:
Aqui, as três primeiras coordenadas são iguais, e a quarta é livre.
Passo 12
Qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso indica que é um subespaço de dimensão 2.
Passo 13
Para a base de , escolhemos dois vetores que gerem todos os vetores de e que sejam linearmente independentes. Podemos escolher e .
Passo 14
Esses vetores são independentes porque não há como expressar um como múltiplo do outro, e qualquer vetor em a 1 1 1 0 + b 0 0 0 1 = a a a b pode ser obtido como:
Passo 15
Assim, uma base para Base de H = 1 1 1 0 , 0 0 0 1 é:
Passo 16
Por fim, vamos para o subespaço K = (x1, x2, x3, x4) ; ; ; x1 + x2 + x3 + x4 = 0 , definido por:
Essa condição impõe que a soma das coordenadas seja zero.
Passo 17
Para encontrar uma base de , precisamos identificar vetores que satisfaçam a equação e que sejam linearmente independentes.
Passo 18
Podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, resolvendo para x4 = -x1 - x2 - x3 :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Passo 19
Escolhendo valores para & Para x1=1, x2=0, x3=0: (1, 0, 0, -1) & Para x1=0, x2=1, x3=0: (0, 1, 0, -1) & Para x1=0, x2=0, x3=1: (0, 0, 1, -1) , e , podemos construir vetores base:
Esses três vetores não podem ser gerados uns pelos outros e satisfazem a condição de .
Passo 20
Portanto, uma base para Base de K = 1 0 0 -1 , 0 1 0 -1 , 0 0 1 -1 é:
Resposta
As bases para os subespaços são:
& Base de F: 1 1 1 1 & Base de G: 1 1 0 0 , 0 0 1 1 & Base de H: 1 1 1 0 , 0 0 0 1 & Base de K: 1 0 0 -1 , 0 1 0 -1 , 0 0 1 -1