Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para cada um dos subespaços , , e em . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e bases. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.

Passo 2

Vamos começar com o subespaço , definido por:
Isso significa que em qualquer vetor de , todas as coordenadas são iguais.

Passo 3

Para encontrar uma base para , precisamos identificar vetores que satisfaçam essa condição e que sejam linearmente independentes. Como todas as coordenadas são iguais, podemos representar qualquer vetor de como , onde é um número real qualquer.

Passo 4

Observamos que todo vetor em é múltiplo de . Isso significa que apenas esse vetor é necessário para gerar todos os vetores de , e ele não pode ser escrito como múltiplo de outro vetor não nulo.

Passo 5

Portanto, uma base para é o conjunto que contém apenas o vetor :

Passo 6

Agora, vamos para o subespaço , definido por:
Aqui, há duas condições: e .

Passo 7

Qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso mostra que é um subespaço de dimensão 2.

Passo 8

Para encontrar uma base, precisamos de dois vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todos os vetores de . Podemos escolher e .

Passo 9

Esses vetores são linearmente independentes porque nenhum é múltiplo do outro, e qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear deles:

Passo 10

Portanto, uma base para é:

Passo 11

Vamos seguir para o subespaço , definido por:
Aqui, as três primeiras coordenadas são iguais, e a quarta é livre.

Passo 12

Qualquer vetor em pode ser escrito como , onde e são números reais. Isso indica que é um subespaço de dimensão 2.

Passo 13

Para a base de , escolhemos dois vetores que gerem todos os vetores de e que sejam linearmente independentes. Podemos escolher e .

Passo 14

Esses vetores são independentes porque não há como expressar um como múltiplo do outro, e qualquer vetor em pode ser obtido como:

Passo 15

Assim, uma base para é:

Passo 16

Por fim, vamos para o subespaço , definido por:
Essa condição impõe que a soma das coordenadas seja zero.

Passo 17

Para encontrar uma base de , precisamos identificar vetores que satisfaçam a equação e que sejam linearmente independentes.

Passo 18

Podemos expressar uma das variáveis em função das outras. Por exemplo, resolvendo para :
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como .

Passo 19

Escolhendo valores para , e , podemos construir vetores base:
Esses três vetores não podem ser gerados uns pelos outros e satisfazem a condição de .

Passo 20

Portanto, uma base para é:

Resposta

As bases para os subespaços são:

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Sejam subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço que contenha uma base de , uma base de e uma base de .
Mostre que os vetores e são L.D. .
Sejam vetores linearmente independentes. Dado 0 , prove que o conjunto de dois elementos é uma base do subespaço gerado pelos vetores