Mostre que os vetores u=(1,1,1), v=(1,2,1) e w=(2,1,2) são L.D. .

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para mostrar que os vetores , e são Linearmente Dependentes (L.D.). Isso está relacionado à álgebra linear, mais especificamente ao conceito de dependência e independência de vetores. Para resolver isso, vamos verificar se existe uma combinação linear não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que os vetores a cdot u + b cdot v + c cdot w = 0 , e são linearmente dependentes se existirem escalares , e , não todos zero, tais que:
Neste caso, nosso objetivo é encontrar valores de , e que satisfaçam essa equação.

Passo 3

Vamos escrever a equação acima de forma mais detalhada, considerando as componentes dos vetores:
a cdot (1,1,1) + b cdot (1,2,1) + c cdot (2,1,2) = (0,0,0)
O que significa que:
(a + b + 2c, ; a + 2b + c, ; a + b + 2c) = (0,0,0)
Agora, temos um sistema de três equações lineares:
a + b + 2c = 0 a + 2b + c = 0 a + b + 2c = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a + b + 2c = 0 , a + b + 2c = 0 a + 2b + c = 0 e (a + 2b + c) - (a + b + 2c) = 0 - 0 (a - a) + (2b - b) + (c - 2c) = 0 b - c = 0 Rightarrow b = c . Observamos que a primeira e a terceira equações são iguais:
Então, podemos eliminar uma delas e ficar com:
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

Passo 5

Substituindo a + b + 2c = 0 a + c + 2c = 0 a + 3c = 0 Rightarrow a = -3c na primeira equação:
a = -3c b = c
Então, temos:
a = -3 b = 1 c = 1
Podemos escolher um valor para que não seja zero para obter uma solução não trivial. Por exemplo, se :

Passo 6

Portanto, encontramos que:
-3 cdot u + 1 cdot v + 1 cdot w = 0
Ou seja:
-3(1,1,1) + 1(1,2,1) + 1(2,1,2) = (0,0,0)
Isso confirma que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores , e são Linearmente Dependentes.

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