Teorema: Se
é o ângulo entre os vetores
, então prove que,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e
é o ângulo entre eles. O objetivo é provar que o produto escalar desses vetores é igual ao produto das suas magnitudes multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são produto escalar, magnitude de um vetor e a relação trigonométrica envolvendo o cosseno.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a magnitude de um vetor. A magnitude, ou comprimento, de um vetor
é dada por:
onde
,
, e
são as componentes do vetor
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de
e
é:
Esse produto nos dá um número que relaciona os dois vetores de uma maneira específica.
Passo 4
Além disso, sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado com o produto escalar e as magnitudes desses vetores pela seguinte fórmula:
Essa relação é muito útil para encontrar o ângulo entre os vetores quando conhecemos o produto escalar e as magnitudes.
Passo 5
Agora, vamos manipular a fórmula acima para chegar na expressão que precisamos provar. Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Isso mostra que o produto escalar é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, que era exatamente o que precisávamos provar.
Resposta
Prova concluída:
.
Exercícios relacionados
Sejam
subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço
que contenha uma base de
, uma base de
e uma base de
.
Sejam
subconjuntos L.I. do espaço vetorial
.
(a) Se , prove que
é L.I. .
(b) Se cada tem
elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente
com
para cada
.
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que
seja uma base de
?
(a) Se
(b) Se cada
© Supondo
Exiba uma base para cada um dos subespaços de
listados a seguir:
Mostre que os vetores
e
são L.D. .