Teorema: Se
é o ângulo entre os vetores
, então prove que,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e
é o ângulo entre eles. O objetivo é provar que o produto escalar desses vetores é igual ao produto das suas magnitudes multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são produto escalar, magnitude de um vetor e a relação trigonométrica envolvendo o cosseno.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é a magnitude de um vetor. A magnitude, ou comprimento, de um vetor
é dada por:
onde
,
, e
são as componentes do vetor
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de
e
é:
Esse produto nos dá um número que relaciona os dois vetores de uma maneira específica.
Passo 4
Além disso, sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado com o produto escalar e as magnitudes desses vetores pela seguinte fórmula:
Essa relação é muito útil para encontrar o ângulo entre os vetores quando conhecemos o produto escalar e as magnitudes.
Passo 5
Agora, vamos manipular a fórmula acima para chegar na expressão que precisamos provar. Multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Isso mostra que o produto escalar é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, que era exatamente o que precisávamos provar.
Resposta
Prova concluída:
.