Teorema: Se é o ângulo entre os vetores , então prove que,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e é o ângulo entre eles. O objetivo é provar que o produto escalar desses vetores é igual ao produto das suas magnitudes multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são produto escalar, magnitude de um vetor e a relação trigonométrica envolvendo o cosseno.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a magnitude de um vetor. A magnitude, ou comprimento, de um vetor é dada por:
onde , , e são as componentes do vetor .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de e é:
Esse produto nos dá um número que relaciona os dois vetores de uma maneira específica.

Passo 4

Além disso, sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado com o produto escalar e as magnitudes desses vetores pela seguinte fórmula:
Essa relação é muito útil para encontrar o ângulo entre os vetores quando conhecemos o produto escalar e as magnitudes.

Passo 5

Agora, vamos manipular a fórmula acima para chegar na expressão que precisamos provar. Multiplicando ambos os lados da equação por , temos:
Isso mostra que o produto escalar é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, que era exatamente o que precisávamos provar.

Resposta

Prova concluída: .

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Sejam subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço que contenha uma base de , uma base de e uma base de .
Sejam subconjuntos L.I. do espaço vetorial .
(a) Se , prove que é L.I. .
(b) Se cada tem elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente com para cada .
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que seja uma base de ?
Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir:
Mostre que os vetores e são L.D. .