Teorema: Se theta é o ângulo entre os vetores u e v, então prove que,
u cdot v=|u||v| cos (theta)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, e theta é o ângulo entre eles. O objetivo é provar que o produto escalar desses vetores é igual ao produto das suas magnitudes multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que são produto escalar, magnitude de um vetor e a relação trigonométrica envolvendo o cosseno.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é a magnitude de um vetor. A magnitude, ou comprimento, de um vetor u é dada por:
|u| = raizux^2 + uy^2 + uz^2
onde ux, uy, e uz são as componentes do vetor u.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar de u e v é:
u cdot v = ux vx + uy vy + uz vz
Esse produto nos dá um número que relaciona os dois vetores de uma maneira específica.

Passo 4

Além disso, sabemos que o cosseno do ângulo entre dois vetores pode ser relacionado com o produto escalar e as magnitudes desses vetores pela seguinte fórmula:
cos(theta) = u cdot v|u| |v|
Essa relação é muito útil para encontrar o ângulo entre os vetores quando conhecemos o produto escalar e as magnitudes.

Passo 5

Agora, vamos manipular a fórmula acima para chegar na expressão que precisamos provar. Multiplicando ambos os lados da equação por |u| |v|, temos:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
Isso mostra que o produto escalar é igual ao produto das magnitudes dos vetores multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles, que era exatamente o que precisávamos provar.

Resposta

Prova concluída: u cdot v = |u| |v| cos(theta).

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