Sejam
vetores linearmente independentes. Dado
0 , prove que o conjunto de dois elementos
é uma base do subespaço gerado pelos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, que são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos dois é múltiplo do outro. Além disso, temos um número diferente de zero,
. A missão aqui é provar que o conjunto formado por
é uma base para o subespaço gerado pelos vetores
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como base, linearmente independente e subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.
Então, para provar que
é uma base, precisamos mostrar duas coisas:
- Linearmente independentes: Os vetores
e não são múltiplos um do outro. - Geram o subespaço: Qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear de
e .
Passo 3
1. Mostrando que são linearmente independentes:
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
Distribuindo os
:
Fatorando
:
Como
e
são linearmente independentes (nada os relaciona), isso significa que os coeficientes de
e
devem ser zero:
Sabemos que
, então da segunda equação
. Substituindo na primeira equação,
. Portanto, a única solução é
, o que prova que
e
são linearmente independentes.
Passo 4
2. Mostrando que geram o subespaço:
O subespaço é gerado pelos vetores
. Vamos mostrar que qualquer vetor desse tipo pode ser escrito como uma combinação linear de
e
.
Vamos pegar um vetor genérico
. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Distribuindo
:
Fatorando
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, podemos sempre encontrar
e
que satisfazem o sistema, o que significa que qualquer vetor
está no subespaço gerado por
.
Resposta
Assim, mostramos que os vetores
e
são linearmente independentes e geram o subespaço em questão. Portanto, o conjunto
é uma base para o subespaço gerado pelos vetores
.
Exercícios relacionados
Mostre que os vetores
e
são L.D. .
Exiba uma base para cada um dos subespaços de
listados a seguir:
Todas as entradas de uma matriz simétrica são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.