Sejam u, v in E vetores linearmente independentes. Dado alpha neq 0 , prove que o conjunto de dois elementos v, v+alpha u é uma base do subespaço gerado pelos vetores v, v+u, v+2 u, ldots, v+n u, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, e , que são linearmente independentes. Ou seja, nenhum dos dois é múltiplo do outro. Além disso, temos um número diferente de zero, . A missão aqui é provar que o conjunto formado por é uma base para o subespaço gerado pelos vetores . Para isso, vamos precisar entender conceitos como base, linearmente independente e subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como combinação linear desses vetores da base.
Então, para provar que é uma base, precisamos mostrar duas coisas:
  1. Linearmente independentes: Os vetores e não são múltiplos um do outro.
  2. Geram o subespaço: Qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear de e .

Passo 3

1. Mostrando que são linearmente independentes:
Para verificar a independência linear, vamos supor que existe uma combinação linear que resulta no vetor nulo:
c1 v + c2 (v + alpha u) = 0
Distribuindo os c1 v + c2 v + c2 alpha u = 0 :
(c1 + c2) v + c2 alpha u = 0
Fatorando c1 + c2 = 0 c2 alpha = 0 :
Como e são linearmente independentes (nada os relaciona), isso significa que os coeficientes de e devem ser zero:
Sabemos que , então da segunda equação . Substituindo na primeira equação, . Portanto, a única solução é , o que prova que e são linearmente independentes.

Passo 4

2. Mostrando que geram o subespaço:
O subespaço é gerado pelos vetores a v + b (v + alpha u) = v + nu . Vamos mostrar que qualquer vetor desse tipo pode ser escrito como uma combinação linear de a v + b v + b alpha u = v + nu e (a + b) v + b alpha u = v + nu .
Vamos pegar um vetor genérico a + b = 1 b alpha = n . Queremos encontrar constantes b = nalpha e a + nalpha = 1 implies a = 1 - nalpha tais que:
Distribuindo :
Fatorando :
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Portanto, podemos sempre encontrar e que satisfazem o sistema, o que significa que qualquer vetor está no subespaço gerado por .

Resposta

Assim, mostramos que os vetores e são linearmente independentes e geram o subespaço em questão. Portanto, o conjunto é uma base para o subespaço gerado pelos vetores .

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