Sejam subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço que contenha uma base de , uma base de e uma base de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , dentro de um espaço vetorial , e ambos têm dimensão finita. A tarefa é encontrar uma base para o subespaço que inclua:
  • Uma base para
  • Uma base para
  • E uma base para a intersecção
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como subespaços, bases, soma de subespaços e intersecção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços . Ela é definida como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Para encontrar uma base para , podemos começar combinando as bases de e . No entanto, essa combinação pode conter vetores que são dependentes linearmente, especialmente aqueles que estão na intersecção .

Passo 4

Então, para garantir que nossa base final seja independente linearmente, precisamos remover os vetores redundantes que estão na intersecção . Isso significa que vamos incluir uma base para uma vez na nossa combinação das bases de e .

Passo 5

Em resumo, a base para será formada pela união das bases de e , excluindo os vetores que estão na intersecção , já que eles são comuns a ambas as bases e não são necessários duas vezes para manter a independência linear.

Resposta

Portanto, uma base para que contém uma base de , uma base de e uma base de é a união das bases de e removendo os vetores da intersecção , garantindo assim a independência linear.

Exercícios relacionados

Sejam subconjuntos L.I. do espaço vetorial .
(a) Se , prove que é L.I. .
(b) Se cada tem elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente com para cada .
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que seja uma base de ?
Prove que é um conjunto L.I. no espaço . (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por e prossiga.)
Teorema: Se é o ângulo entre os vetores , então prove que,
Exiba uma base para cada um dos subespaços de listados a seguir: