Sejam F1, F2 subset E subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço F1+F2 que contenha uma base de F1, uma base de F2 e uma base de F1 cap F2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços, e , dentro de um espaço vetorial , e ambos têm dimensão finita. A tarefa é encontrar uma base para o subespaço que inclua:
  • Uma base para
  • Uma base para
  • E uma base para a intersecção
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como subespaços, bases, soma de subespaços e intersecção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços F1 + F2 = v + w mid v in F1, w in F2 . Ela é definida como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Matematicamente, isso fica:

Passo 3

Para encontrar uma base para , podemos começar combinando as bases de e . No entanto, essa combinação pode conter vetores que são dependentes linearmente, especialmente aqueles que estão na intersecção .

Passo 4

Então, para garantir que nossa base final seja independente linearmente, precisamos remover os vetores redundantes que estão na intersecção . Isso significa que vamos incluir uma base para uma vez na nossa combinação das bases de e .

Passo 5

Em resumo, a base para será formada pela união das bases de e , excluindo os vetores que estão na intersecção , já que eles são comuns a ambas as bases e não são necessários duas vezes para manter a independência linear.

Resposta

Portanto, uma base para que contém uma base de , uma base de e uma base de é a união das bases de e removendo os vetores da intersecção , garantindo assim a independência linear.

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