Sejam
subespaços de dimensão finita. Obtenha uma base do subespaço
que contenha uma base de
, uma base de
e uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços,
e
, dentro de um espaço vetorial
, e ambos têm dimensão finita. A tarefa é encontrar uma base para o subespaço
que inclua:
- Uma base para
- Uma base para
- E uma base para a intersecção
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de álgebra linear, como subespaços, bases, soma de subespaços e intersecção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a soma de dois subespaços
. Ela é definida como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Para encontrar uma base para
, podemos começar combinando as bases de
e
. No entanto, essa combinação pode conter vetores que são dependentes linearmente, especialmente aqueles que estão na intersecção
.
Passo 4
Então, para garantir que nossa base final seja independente linearmente, precisamos remover os vetores redundantes que estão na intersecção
. Isso significa que vamos incluir uma base para
uma vez na nossa combinação das bases de
e
.
Passo 5
Em resumo, a base para
será formada pela união das bases de
e
, excluindo os vetores que estão na intersecção
, já que eles são comuns a ambas as bases e não são necessários duas vezes para manter a independência linear.
Resposta
Portanto, uma base para
que contém uma base de
, uma base de
e uma base de
é a união das bases de
e
removendo os vetores da intersecção
, garantindo assim a independência linear.
Exercícios relacionados
Sejam
subconjuntos L.I. do espaço vetorial
.
(a) Se , prove que
é L.I. .
(b) Se cada tem
elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente
com
para cada
.
© Supondo e admitindo as hipóteses dos ítens anteriores, é verdade que
seja uma base de
?
(a) Se
(b) Se cada
© Supondo
Prove que
é um conjunto L.I. no espaço
. (Sugestão: dada uma combinação linear nula, derive-a, depois divida por
e prossiga.)
Teorema: Se
é o ângulo entre os vetores
, então prove que,
Exiba uma base para cada um dos subespaços de
listados a seguir: