Seja a transformação linear definida por b) e considere as bases e de e , respectivamente. Determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear , que mapeia vetores de para polinômios de grau no máximo 2. A transformação é definida por:
Nós temos duas bases:
para
para
Nosso objetivo é encontrar a matriz de relativa às bases e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
Aplicar a transformação aos vetores da base .
Expressar os resultados em termos da base .
Montar a matriz com os coeficientes obtidos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação aos vetores da base .
Para o vetor :
Para o vetor :
Passo 3
Agora, precisamos expressar os resultados e em termos da base .
Vamos chamar os vetores da base de , e .
Precisamos encontrar coeficientes tais que:
Para cada , resolvemos o sistema de equações.
Passo 4
Vamos começar com .
Queremos:
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes:
Da segunda equação, já sabemos que - c2 + 4 = 12 Rightarrow -c2 = 8 Rightarrow c2 = -8 . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Então, os coeficientes para são , , .
Passo 5
Agora fazemos o mesmo para -2 X^2 + X -5 = d1 (3 X^2 + X) + d2 (-1) + d3 (2 X^2 +1) .
Da segunda equação, - d2 - 52 = -5 Rightarrow - d2 = -52 Rightarrow d2 = 52 . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Então, os coeficientes para são , , .
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz [T]beta^alpha = -1 & 1 -8 & 52 4 & -52 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes dos vetores da base expressos em termos dos vetores da base .
Então, temos:
Resposta
A matriz da transformação [T]beta^alpha = -1 & 1 -8 & dfrac52 4 & -dfrac52 relativa às bases e é: