Seja T: R^2 P2(R) a transformação linear definida por T(a, b)=(a+2 b) X^2+(a- b) X+(2 a+5 b) e considere as bases alpha=(1,2),(0,-1) e beta=3 X^2+X,-1,2 X^2+1 de R^2 e P2(R), respectivamente. Determine [T]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma transformação linear T(a, b) = (a + 2b) X^2 + (a - b) X + (2a + 5b) , que mapeia vetores de para polinômios de grau no máximo 2. A transformação é definida por:
Nós temos duas bases:
  • para
  • para
Nosso objetivo é encontrar a matriz de relativa às bases e , ou seja, .
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Aplicar a transformação aos vetores da base .
  2. Expressar os resultados em termos da base .
  3. Montar a matriz com os coeficientes obtidos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(1, 2) = (1 + 2 times 2) X^2 + (1 - 2) X + (2 times 1 + 5 times 2) = (1 + 4) X^2 + (-1) X + (2 + 10) = 5 X^2 - X + 12 aos vetores da base T(0, -1) = (0 + 2 times (-1)) X^2 + (0 - (-1)) X + (2 times 0 + 5 times (-1)) = (-2) X^2 + X + (-5) = -2 X^2 + X - 5 .
  1. Para o vetor :
  1. Para o vetor :

Passo 3

Agora, precisamos expressar os resultados T(v) = c1 beta1 + c2 beta2 + c3 beta3 e em termos da base .
Vamos chamar os vetores da base de , e .
Precisamos encontrar coeficientes tais que:
Para cada , resolvemos o sistema de equações.

Passo 4

Vamos começar com 5 X^2 - X + 12 = c1 (3 X^2 + X) + c2 (-1) + c3 (2 X^2 +1) .
Queremos:
= c1 cdot 3 X^2 + c1 cdot X + c2 cdot (-1) + c3 cdot 2 X^2 + c3 cdot 1
Expandindo o lado direito:
= (3 c1 + 2 c3) X^2 + (c1) X + (-c2 + c3)
3 c1 + 2 c3 = 5 c1 = -1 -c2 + c3 = 12
Agora, igualamos os coeficientes:
3(-1) + 2 c3 = 5 Rightarrow -3 + 2 c3 = 5 Rightarrow 2 c3 = 8 Rightarrow c3 = 4
Da segunda equação, já sabemos que - c2 + 4 = 12 Rightarrow -c2 = 8 Rightarrow c2 = -8 . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Então, os coeficientes para são , , .

Passo 5

Agora fazemos o mesmo para -2 X^2 + X -5 = d1 (3 X^2 + X) + d2 (-1) + d3 (2 X^2 +1) .
Queremos:
= d1 cdot 3 X^2 + d1 cdot X + d2 cdot (-1) + d3 cdot 2 X^2 + d3 cdot 1
Expandindo:
= (3 d1 + 2 d3) X^2 + (d1) X + (-d2 + d3)
3 d1 + 2 d3 = -2 d1 = 1 - d2 + d3 = -5
Igualando os coeficientes:
3(1) + 2 d3 = -2 Rightarrow 3 + 2 d3 = -2 Rightarrow 2 d3 = -5 Rightarrow d3 = -52
Da segunda equação, - d2 - 52 = -5 Rightarrow - d2 = -52 Rightarrow d2 = 52 . Substituindo na primeira:
E na terceira equação:
Então, os coeficientes para são , , .

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz [T]beta^alpha = -1 & 1 -8 & 52 4 & -52 . Cada coluna da matriz corresponde aos coeficientes dos vetores da base expressos em termos dos vetores da base .
Então, temos:

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^alpha = -1 & 1 -8 & dfrac52 4 & -dfrac52 relativa às bases e é:

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