Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos descobrir três coisas sobre ela:
- Domínio: Quais valores de
e podemos usar na função? - Imagem: Quais valores a função pode produzir?
- Curvas de nível: Quais são as curvas no plano
onde a função tem o mesmo valor?
Além disso, vamos desenhar essas curvas de nível e fazer um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como aplicá-los na função dada.
Passo 2
Dominio: O domínio de uma função são todos os valores possíveis de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida.
Para a função
, não há restrições nos valores de
e
. Podemos elevar qualquer número real ao quadrado e somar, sempre obtendo um resultado válido. Portanto, o domínio é todo o plano
.
Dominio:
(todos os pares de números reais
).
Passo 3
Imagem: A imagem de uma função são todos os valores de saída que a função pode produzir com base no seu domínio.
Vamos analisar
. Tanto
quanto
são sempre maiores ou iguais a zero, pois o quadrado de qualquer número real não é negativo. Portanto,
.
Somando 1 a isso, temos:
Isso significa que a função sempre será maior ou igual a 1 e pode crescer sem limites à medida que
e
aumentam.
Imagem:
Passo 4
Curvas de nível: São curvas no plano
onde a função
tem um valor constante.
Vamos definir
, onde
é uma constante maior ou igual a 1 (já que vimos que a imagem é
).
Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
.
Isso significa que para cada valor de
, a curva de nível é um círculo com raio
.
Passo 5
Desenhando as curvas de nível:
Vamos escolher alguns valores de
para desenhar esses círculos:
- Para
: → é apenas o ponto . - Para
: → círculo de raio 1. - Para
: → círculo de raio 2. - E assim por diante.
Esses círculos vão ficando maiores à medida que
aumenta.
Esboço do gráfico da função:
A função
é uma paraboloide elíptica que se abre para cima. A base da paraboloide está no ponto
, e ela se estende indefinidamente à medida que
e
aumentam.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: Círculos centrados na origem com equação
, onde
.
Além disso, o gráfico da função é uma paraboloide elíptica que se abre para cima, com base no ponto
.