Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: f(x, y) = 1 + x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir três coisas sobre ela:
  1. Domínio: Quais valores de e podemos usar na função?
  2. Imagem: Quais valores a função pode produzir?
  3. Curvas de nível: Quais são as curvas no plano onde a função tem o mesmo valor?
Além disso, vamos desenhar essas curvas de nível e fazer um esboço do gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como aplicá-los na função dada.

Passo 2

Dominio: O domínio de uma função são todos os valores possíveis de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida.
Para a função , não há restrições nos valores de e . Podemos elevar qualquer número real ao quadrado e somar, sempre obtendo um resultado válido. Portanto, o domínio é todo o plano .
Dominio: (todos os pares de números reais ).

Passo 3

Imagem: A imagem de uma função são todos os valores de saída que a função pode produzir com base no seu domínio.
Vamos analisar . Tanto quanto são sempre maiores ou iguais a zero, pois o quadrado de qualquer número real não é negativo. Portanto, .
Somando 1 a isso, temos:
Isso significa que a função sempre será maior ou igual a 1 e pode crescer sem limites à medida que e aumentam.
Imagem:

Passo 4

Curvas de nível: São curvas no plano onde a função tem um valor constante.
Vamos definir , onde é uma constante maior ou igual a 1 (já que vimos que a imagem é ).
Então:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem .
Isso significa que para cada valor de , a curva de nível é um círculo com raio .

Passo 5

Desenhando as curvas de nível:
Vamos escolher alguns valores de para desenhar esses círculos:
  • Para : → é apenas o ponto .
  • Para : → círculo de raio 1.
  • Para : → círculo de raio 2.
  • E assim por diante.
Esses círculos vão ficando maiores à medida que aumenta.
Esboço do gráfico da função:
A função é uma paraboloide elíptica que se abre para cima. A base da paraboloide está no ponto , e ela se estende indefinidamente à medida que e aumentam.

Resposta

Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: Círculos centrados na origem com equação , onde .
Além disso, o gráfico da função é uma paraboloide elíptica que se abre para cima, com base no ponto .

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