Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: f(x, y) = x + y + 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função . Além disso, temos que desenhar essas curvas de nível e esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares ) para os quais a função está definida. Olhando para , vemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Então, o domínio é todo o conjunto de números reais para e .
Domínio: (todos os pares reais)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Como é uma função linear sem restrições, qualquer valor real pode ser obtido ajustando e . Portanto, a imagem também é todo o conjunto de números reais.
Imagem:

Passo 4

Vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante. Para encontrar essas curvas, igualamos a uma constante :
Resolvendo para :
Isso mostra que cada curva de nível é uma reta com inclinação e intercepto .
Curvas de nível: , onde é uma constante real.

Passo 5

Vamos desenhar as curvas de nível. Como vimos, elas são retas com inclinação . Isso significa que para diferentes valores de , teremos várias retas paralelas umas às outras. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Essas retas vão se deslocando para cima ou para baixo dependendo do valor de .

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Como é uma função de duas variáveis, o gráfico é um plano inclinado no espaço tridimensional. A inclinação desse plano é determinada pelos coeficientes de e , que são ambos . Isso significa que o plano sobe igualmente nas direções de e .

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:
  • Curvas de nível: Retas da forma , onde é uma constante real.
  • Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional com inclinação igual nas direções de e .

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