Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
. Além disso, temos que desenhar essas curvas de nível e esboçar o gráfico da função. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares
) para os quais a função está definida. Olhando para
, vemos que não há restrições como divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos. Então, o domínio é todo o conjunto de números reais para
e
.
Domínio:
(todos os pares
reais)
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de saída da função. Como
é uma função linear sem restrições, qualquer valor real pode ser obtido ajustando
e
. Portanto, a imagem também é todo o conjunto de números reais.
Imagem:
Passo 4
Vamos para as curvas de nível. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Para encontrar essas curvas, igualamos
a uma constante
:
Resolvendo para
:
Isso mostra que cada curva de nível é uma reta com inclinação
e intercepto
.
Curvas de nível:
, onde
é uma constante real.
Passo 5
Vamos desenhar as curvas de nível. Como vimos, elas são retas com inclinação
. Isso significa que para diferentes valores de
, teremos várias retas paralelas umas às outras. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Essas retas vão se deslocando para cima ou para baixo dependendo do valor de
.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Como é uma função de duas variáveis, o gráfico é um plano inclinado no espaço tridimensional. A inclinação desse plano é determinada pelos coeficientes de
e
, que são ambos
. Isso significa que o plano sobe igualmente nas direções de
e
.
Resposta
- Domínio:
- Imagem:
- Curvas de nível: Retas da forma
, onde é uma constante real. - Gráfico: Um plano inclinado no espaço tridimensional com inclinação igual nas direções de
e .