a) Exiba todos os polinômios em
que são irredutíveis sobre
Passo 1
Beleza, vamos olhar o enunciado juntos! A gente precisa encontrar todos os polinômios no conjunto
que são irredutíveis sobre
. Aqui, estamos lidando com polinômios de terceiro grau onde os coeficientes
e
pertencem ao conjunto dos inteiros módulo 3,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um polinômio ser irredutível nesse contexto e como identificar quais desses polinômios não podem ser fatorados em polinômios de menor grau em
.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os possíveis polinômios no conjunto
. Como
e
podem assumir valores em
(ou seja, 0, 1 ou 2), temos:
Então, temos 9 polinômios para analisar.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é um polinômio irredutível. Em
, um polinômio é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de menor grau com coeficientes em
. Para polinômios de terceiro grau em um campo como
, uma maneira simples de verificar se são irredutíveis é checar se eles não têm raízes em
.
Passo 4
Vamos verificar cada polinômio em
para ver se ele tem alguma raiz em
, ou seja, se existe algum
tal que o polinômio avaliado em
resulta em 0.
Passo 5
Vamos fazer isso para cada polinômio:
-
-
: (raiz) - Como tem raiz, não é irredutível.
-
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: -
: -
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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: -
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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-
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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: -
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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: -
: -
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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-
-
: (raiz) - Tem raiz, não é irredutível.
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-
: -
: -
: - Não tem nenhuma raiz em
, então é irredutível.
-
-
-
: -
: -
: - Não tem nenhuma raiz em
, então é irredutível.
-
Resposta
Os polinômios irredutíveis em
sobre
são: