a) Exiba todos os polinômios em A = {x^3 + a x + b ; a, b in Z_3} que são irredutíveis sobre Z_3

Passo 1

Beleza, vamos olhar o enunciado juntos! A gente precisa encontrar todos os polinômios no conjunto que são irredutíveis sobre . Aqui, estamos lidando com polinômios de terceiro grau onde os coeficientes e pertencem ao conjunto dos inteiros módulo 3, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um polinômio ser irredutível nesse contexto e como identificar quais desses polinômios não podem ser fatorados em polinômios de menor grau em .

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os possíveis polinômios no conjunto . Como e podem assumir valores em (ou seja, 0, 1 ou 2), temos:
Então, temos 9 polinômios para analisar.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é um polinômio irredutível. Em , um polinômio é irredutível se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de menor grau com coeficientes em . Para polinômios de terceiro grau em um campo como , uma maneira simples de verificar se são irredutíveis é checar se eles não têm raízes em .

Passo 4

Vamos verificar cada polinômio em para ver se ele tem alguma raiz em , ou seja, se existe algum tal que o polinômio avaliado em resulta em 0.

Passo 5

Vamos fazer isso para cada polinômio:
    • : (raiz)
    • Como tem raiz, não é irredutível.
    • :
    • :
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • :
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • :
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • :
    • :
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • : (raiz)
    • Tem raiz, não é irredutível.
    • :
    • :
    • :
    • Não tem nenhuma raiz em , então é irredutível.
    • :
    • :
    • :
    • Não tem nenhuma raiz em , então é irredutível.

Resposta

Os polinômios irredutíveis em sobre são:

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