Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos investigar se a função é diferenciável no ponto .
Conteúdo da matéria: Derivabilidade de funções, que está relacionada à existência da derivada em um ponto específico.
O que vamos precisar:
  • Entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.
  • Calcular as derivadas laterais (à esquerda e à direita) no ponto .
  • Verificar se essas derivadas laterais são iguais.

Passo 2

Entendendo a derivabilidade: Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada existe nesse ponto. Isso significa que a função deve ser contínua nesse ponto e não ter “quebras” ou “cantos”.

Passo 3

Verificando a continuidade em :
Vamos primeiro garantir que a função é contínua em .
Para se aproximando de 1 pela esquerda ( ):
Para se aproximando de 1 pela direita ( ):
Como os limites pelas duas laterais são iguais e , a função é contínua em .

Passo 4

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
Usamos a definição de derivada para :
A derivada de é:
Então, em :

Passo 5

Calculando a derivada pela direita ( ):
Usamos a definição de derivada para :
A derivada de é:
Então, em :

Passo 6

Comparando as derivadas laterais:
Temos:
Como , as derivadas laterais são diferentes.

Resposta

A função não é diferenciável em , pois as derivadas laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Seja a função definida em por: , para , e , para .
© é derivável em ?
Seja a função dada por .
(a) Existe ?
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
©
Existe algum ponto no qual a função não é derivável? Por quê?