Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos investigar se a função
é diferenciável no ponto
.
Conteúdo da matéria: Derivabilidade de funções, que está relacionada à existência da derivada em um ponto específico.
O que vamos precisar:
- Entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto.
- Calcular as derivadas laterais (à esquerda e à direita) no ponto
. - Verificar se essas derivadas laterais são iguais.
Passo 2
Entendendo a derivabilidade: Uma função é diferenciável em um ponto se a derivada existe nesse ponto. Isso significa que a função deve ser contínua nesse ponto e não ter “quebras” ou “cantos”.
Passo 3
Verificando a continuidade em
:
Vamos primeiro garantir que a função é contínua em
.
Para
se aproximando de 1 pela esquerda (
):
Para
se aproximando de 1 pela direita (
):
Como os limites pelas duas laterais são iguais e
, a função é contínua em
.
Passo 4
Calculando a derivada pela esquerda (
):
Usamos a definição de derivada para
:
A derivada de
é:
Então, em
:
Passo 5
Calculando a derivada pela direita (
):
Usamos a definição de derivada para
:
A derivada de
é:
Então, em
:
Passo 6
Comparando as derivadas laterais:
Temos:
Como
, as derivadas laterais são diferentes.
Resposta
A função
não é diferenciável em
, pois as derivadas laterais são diferentes.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
© é derivável em
?
©
Seja
a função dada por
.
(a) Existe ?
(a) Existe
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
©
©
Existe algum ponto no qual a função
não é derivável? Por quê?