Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos investigar se a função
é derivável em
. A função é definida de forma diferente para
e para
. Para saber se ela é derivável em
, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é contínua em
. Isso significa que o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também deve ser igual ao valor da função em
.
Para
, a função é
. O limite quando
se aproxima de 1 por valores menores que 1 é:
Para
, a função é
. O limite quando
se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais a 1 é:
E o valor da função em
é:
Como os limites laterais e o valor da função são iguais a 1, a fun��ão é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a derivada pela esquerda é igual à derivada pela direita em
.
Para
,
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Para
,
. A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em
é:
Resposta
Como as derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais (
), a função
é derivável em
.