Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
© x = 1 ; f(x) = { raiz(x), se 0 < x < 1 ; (1/2)(x + 1), se 1 <= x < 2 }

Passo 1

Beleza, vamos investigar se a função é derivável em . A função é definida de forma diferente para e para . Para saber se ela é derivável em , vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas pela esquerda e pela direita são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua em . Isso significa que o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e também deve ser igual ao valor da função em .
Para , a função é . O limite quando se aproxima de 1 por valores menores que 1 é:
Para , a função é . O limite quando se aproxima de 1 por valores maiores ou iguais a 1 é:
E o valor da função em é:
Como os limites laterais e o valor da função são iguais a 1, a fun��ão é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a derivada pela esquerda é igual à derivada pela direita em .
Para , . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela esquerda em é:
Para , . A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pela direita em é:

Resposta

Como as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais ( ), a função é derivável em .

Exercícios relacionados