Seja C a curva representada pelas equações (Ex12)
x=t, y=3 cdot t^2, z=6 cdot t^3(0 <= t <= 1)
Calcule, em cada parte, a integral de linha ao longo de c.
3.3. integralc x cdot y cdot z^2 cdot d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma curva C parametrizada por:
x = t, y = 3t^2, z = 6t^3, onde 0 <= t <= 1
Nosso objetivo é calcular a integral de linha ao longo dessa curva para a função x cdot y cdot z^2 em relação a dy. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e substituição nas integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que precisamos calcular:
integralC x cdot y cdot z^2 , dy
Como a curva está parametrizada em termos de t, vamos expressar tudo em função de t.

Passo 3

Substituímos x, y e z nas expressões dadas:
x = t
y = 3t^2
z = 6t^3
Então, a expressão x cdot y cdot z^2 fica:
x cdot y cdot z^2 = t cdot 3t^2 cdot (6t^3)^2

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
(6t^3)^2 = 36t^6
Então:
t cdot 3t^2 cdot 36t^6 = 3 cdot 36 cdot t^1+2+6 = 108t^9

Passo 5

Agora, precisamos expressar dy em termos de dt. Sabemos que:
y = 3t^2
Derivando em relação a t:
dydt = 6t
Então:
dy = 6t , dt

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integralC x cdot y cdot z^2 , dy = integral0^1 108t^9 cdot 6t , dt
Multiplicando os coeficientes e os termos de t:
108 cdot 6 = 648
t^9 cdot t = t^10
Então, a integral fica:
648 integral0^1 t^10 , dt

Passo 7

Vamos integrar t^10 em relação a t:
integral t^10 , dt = t^1111 + C
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
t^1111 |0^1 = 1^1111 - 0^1111 = 111

Passo 8

Multiplicando pelo coeficiente:
648 cdot 111 = 64811

Resposta

A integral de linha é 64811.

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