(a) Existe alguma matriz
de tamanho
tal que
e
? Justifique sua resposta.
(b) Existe alguma matriz
de tamanho
tal que
e
? Justifique sua resposta.
(b) Existe alguma matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas perguntinhas sobre matrizes 2x2:
(a) Será que existe uma matriz diferente de zero onde
?
(b) Será que existe uma matriz diferente de zero onde
?
Vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, multiplicação de matrizes e conceitos como matrizes nulas, nilpotentes e idempotentes para resolver isso.
(a) Será que existe uma matriz
(b) Será que existe uma matriz
Vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, multiplicação de matrizes e conceitos como matrizes nulas, nilpotentes e idempotentes para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Existe uma matriz
tal que
e
?
Primeiro, uma matriz
que não é zero significa que pelo menos um dos seus elementos é diferente de zero. Agora,
quer dizer que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zero).
Uma matriz que satisfaz
é chamada de matriz nilpotente. Vamos ver se conseguimos construir uma matriz assim.
Considere a matriz:
Vamos multiplicar
por ela mesma:
[
A \times A =
\times
]
Viu só? Multiplicando
por ela mesma dá a matriz nula, mas
não é a matriz nula. Portanto, existe sim uma matriz
diferente de zero que, quando quadrada, resulta em zero.
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): Existe uma matriz
tal que
e
?
Aqui,
significa que a matriz é idempotente. Vamos ver se conseguimos encontrar uma matriz idempotente que não seja a matriz nula.
Considere a matriz identidade:
Verifiquemos:
Isso mostra que a matriz identidade é idempotente, mas
não é a matriz nula. Além disso, existem outras matrizes idempotentes, como:
Multiplicando:
[
A \times A =
= A
]
Então, essa também é uma matriz idempotente diferente de zero.
Resposta
Sim, para ambas as situações existem matrizes
que satisfazem as condições:
(a) Matrizes nilpotentes não nulas onde , como
.
(b) Matrizes idempotentes não nulas onde , como a matriz identidade
ou
.
(a) Matrizes nilpotentes não nulas onde
(b) Matrizes idempotentes não nulas onde
Exercícios relacionados
Suponha que seja fixado um sistema de coordenadas cartesiano
para o espaço, onde o ponto O é a origem e
uma base ortonormal positiva.
(a) Sejam e
. Determine os valores reais de x para que o conjunto
seja LD.
(a) Sejam
Sejam
,
e
vetores em
. O vetor
é combinação linear de
e
?
Seja
.
(a) Encontre a distância de P ao plano xy;
(a) Encontre a distância de P ao plano xy;
Use as intersecções com os eixos coordenados como uma ajuda para esboçar o plano.