(a) Existe alguma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que A neq 0 e A A=0 ? Justifique sua resposta.
(b) Existe alguma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que A neq 0 e A A=A ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas perguntinhas sobre matrizes 2x2:
(a) Será que existe uma matriz diferente de zero onde ?
(b) Será que existe uma matriz diferente de zero onde ?
Vamos precisar de conhecimentos sobre matrizes, multiplicação de matrizes e conceitos como matrizes nulas, nilpotentes e idempotentes para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Existe uma matriz A = 0 & 1 0 & 0 A times A = 0 & 1 0 & 0 times 0 & 1 0 & 0 = 0 times 0 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 0 0 times 0 + 0 times 0 & 0 times 1 + 0 times 0 = 0 & 0 0 & 0 tal que e ?
Primeiro, uma matriz que não é zero significa que pelo menos um dos seus elementos é diferente de zero. Agora, quer dizer que quando multiplicamos a matriz por ela mesma, o resultado é a matriz nula (todos os elementos são zero).
Uma matriz que satisfaz é chamada de matriz nilpotente. Vamos ver se conseguimos construir uma matriz assim.

Considere a matriz:

Vamos multiplicar por ela mesma:
[
A \times A =
\times


]
Viu só? Multiplicando por ela mesma dá a matriz nula, mas não é a matriz nula. Portanto, existe sim uma matriz diferente de zero que, quando quadrada, resulta em zero.

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): Existe uma matriz I = 1 & 0 0 & 1 I times I = I tal que A = 1 & 0 0 & 0 e A times A = 1 times 1 + 0 times 0 & 1 times 0 + 0 times 0 0 times 1 + 0 times 0 & 0 times 0 + 0 times 0 = 1 & 0 0 & 0 = A ?
Aqui, significa que a matriz é idempotente. Vamos ver se conseguimos encontrar uma matriz idempotente que não seja a matriz nula.

Considere a matriz identidade:

Verifiquemos:

Isso mostra que a matriz identidade é idempotente, mas não é a matriz nula. Além disso, existem outras matrizes idempotentes, como:

Multiplicando:
[
A \times A =


= A
]
Então, essa também é uma matriz idempotente diferente de zero.

Resposta

Sim, para ambas as situações existem matrizes 0 & 1 0 & 0 que satisfazem as condições:
(a) Matrizes nilpotentes não nulas onde 1 & 0 0 & 0 , como .
(b) Matrizes idempotentes não nulas onde , como a matriz identidade ou .

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