Sejam u=(2,-1,0), v=(-1,2,-1) e w=(0,-1,2) vetores em R^3. O vetor (1,0,0) é combinação linear de u, v e w ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A pergunta é: o vetor pode ser formado por uma combinação linear desses três vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, entender o que é combinação linear. Dizemos que um vetor au + bv + cw = b é uma combinação linear dos vetores a(2, -1, 0) + b(-1, 2, -1) + c(0, -1, 2) = (1, 0, 0) e se existe escalares tais que:
Nesse caso, queremos saber se existem valores para que satisfaçam:

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
2a - b + 0c = 1 -1a + 2b - c = 0 0a - b + 2c = 0
Simplificando:
2a - b = 1 - a + 2b - c = 0 - b + 2c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da terceira equação:
- b + 2c = 0 Rightarrow b = 2c
Substituímos - a + 2(2c) - c = 0 Rightarrow -a + 4c - c = 0 Rightarrow -a + 3c = 0 Rightarrow a = 3c na segunda equação:
2(3c) - 2c = 1 Rightarrow 6c - 2c = 1 Rightarrow 4c = 1 Rightarrow c = 14
Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 5

Com a = 3c = 3 times 14 = 34 , encontramos:
b = 2c = 2 times 14 = 12

Resposta

Sim, o vetor 34u + 12v + 14w = (1, 0, 0) é uma combinação linear de e . Os coeficientes são , e , ou seja:

Exercícios relacionados