Sejam , e vetores em . O vetor é combinação linear de e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A pergunta é: o vetor pode ser formado por uma combinação linear desses três vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, entender o que é combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores e se existe escalares tais que:
Nesse caso, queremos saber se existem valores para que satisfaçam:
Passo 3
Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Simplificando:
2a - b = 1 - a + 2b - c = 0 - b + 2c = 0
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da terceira equação:
- b + 2c = 0 Rightarrow b = 2c
Substituímos - a + 2(2c) - c = 0 Rightarrow -a + 4c - c = 0 Rightarrow -a + 3c = 0 Rightarrow a = 3c na segunda equação: