Sejam , e vetores em . O vetor é combinação linear de e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . A pergunta é: o vetor pode ser formado por uma combinação linear desses três vetores? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sistemas de equações lineares e combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, entender o que é combinação linear. Dizemos que um vetor é uma combinação linear dos vetores e se existe escalares tais que:
Nesse caso, queremos saber se existem valores para que satisfaçam:

Passo 3

Vamos escrever isso componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da terceira equação:
Substituímos na segunda equação:
Agora, substituímos e na primeira equação:

Passo 5

Com , encontramos:

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear de e . Os coeficientes são , e , ou seja:

Exercícios relacionados

Use o método das linhas ou das colunas (como for apropriado) para encontrar
(a) a primeira linha de .
(b) a terceira linha de .
© a segunda coluna de .
(d) a primeira coluna de .
(e) a terceira linha de .
(f) a terceira coluna de .
Mostre que é um conjunto gerador do espaço vetorial .
Suponha que seja fixado um sistema de coordenadas cartesiano para o espaço, onde o ponto O é a origem e uma base ortonormal positiva.
(a) Sejam e . Determine os valores reais de x para que o conjunto seja LD.
(a) Existe alguma matriz de tamanho tal que e ? Justifique sua resposta.
(b) Existe alguma matriz de tamanho tal que e ? Justifique sua resposta.