Suponha que seja fixado um sistema de coordenadas cartesiano para o espaço, onde o ponto O é a origem e uma base ortonormal positiva.
(a) Sejam e . Determine os valores reais de x para que o conjunto seja LD.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir os valores de que fazem o conjunto dos vetores ser linearmente dependente (LD). Estamos trabalhando com vetores no espaço 3D e precisamos usar álgebra linear para resolver isso. Basicamente, quando três vetores são linearmente dependentes, significa que pelo menos um deles pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Para descobrir isso, vamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são LD.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores numa matriz. Cada vetor será uma coluna da matriz:
Aqui, as colunas são , , e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se os vetores são LD ou não. A fórmula para o determinante de uma matriz é:
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo:
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Vamos resolver para :
Resposta
O valor real de que torna o conjunto linearmente dependente é .