Existe tal que se se seja cont

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por:
O objetivo é encontrar o valor de que torna a função contínua em . Para isso, precisamos usar conceitos de continuidade de funções em cálculo, especificamente o limite da função quando se aproxima de 0.

Passo 2

Para garantir que seja contínua em , devemos ter:
Isso significa que o limite da função quando se aproxima de 0 deve ser igual ao valor da função em 0, que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando tende a 0:
Sabemos que o cosseno sempre está limitado entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os termos por (que é positivo), temos:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Cotações), que nos diz que se e , então .
No nosso caso:
Portanto:

Passo 5

Para que seja contínua em , o limite que calculamos deve ser igual a :

Resposta

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