Existe o limite ? E o limite ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar dois limites:
Vamos precisar entender como a função seno se comporta quando o argumento sobe para infinito (já que está indo para zero, vai para infinito). Também vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche) para resolver o segundo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite .
A função seno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de , temos:
Quando se aproxima de 0, cresce sem limites, fazendo o argumento do seno oscilar cada vez mais rápido entre valores positivos e negativos. Isso faz com que não se estabilize em nenhum valor específico.
Portanto, como a função não se aproxima de nenhum número específico conforme se aproxima de 0, o limite não existe.

Passo 3

Agora, vamos ver o limite .
Sabemos que . Multiplicando todos os lados por , que é positivo, temos:
Quando se aproxima de 0, tanto quanto se aproximam de 0. Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Assim, temos:
Portanto:

Resposta

  1. O limite não existe.
  2. O limite é igual a 0.

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