Existe o limite
? E o limite
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar dois limites:
Vamos precisar entender como a função seno se comporta quando o argumento sobe para infinito (já que
está indo para zero,
vai para infinito). Também vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche) para resolver o segundo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite
.
A função seno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de
, temos:
Quando
se aproxima de 0,
cresce sem limites, fazendo o argumento do seno oscilar cada vez mais rápido entre valores positivos e negativos. Isso faz com que
não se estabilize em nenhum valor específico.
Portanto, como a função não se aproxima de nenhum número específico conforme
se aproxima de 0, o limite não existe.
Passo 3
Agora, vamos ver o limite
.
Sabemos que
. Multiplicando todos os lados por
, que é positivo, temos:
Quando
se aproxima de 0, tanto
quanto
se aproximam de 0. Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Assim, temos:
Portanto:
Resposta
- O limite
não existe. - O limite
é igual a 0.