Existe o limite lim x 0 sen(1 / x) ? E o limite lim x 0 x sen(1 / x) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar dois limites:
  1. lim x 0 sin(1x)
  2. lim x 0 x cdot sin(1x)
Vamos precisar entender como a função seno se comporta quando o argumento sobe para infinito (já que x está indo para zero, 1x vai para infinito). Também vamos usar o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sanduíche) para resolver o segundo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite lim x 0 sin(1x).
A função seno sempre oscila entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de x, temos:
-1 <= sin(1x) <= 1
Quando x se aproxima de 0, 1x cresce sem limites, fazendo o argumento do seno oscilar cada vez mais rápido entre valores positivos e negativos. Isso faz com que sin(1x) não se estabilize em nenhum valor específico.
Portanto, como a função não se aproxima de nenhum número específico conforme x se aproxima de 0, o limite não existe.

Passo 3

Agora, vamos ver o limite lim x 0 x cdot sin(1x).
Sabemos que -1 <= sin(1x) <= 1. Multiplicando todos os lados por |x|, que é positivo, temos:
-|x| <= x cdot sin(1x) <= |x|
Quando x se aproxima de 0, tanto |x| quanto -|x| se aproximam de 0. Pelo Teorema do Aperto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Assim, temos:
lim x 0 -|x| = 0 e lim x 0 |x| = 0
Portanto:
lim x 0 x cdot sin(1x) = 0

Resposta

  1. O limite lim x 0 sin(1x) não existe.
  2. O limite lim x 0 x cdot sin(1x) é igual a 0.

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