Suponha que seja um ponto crítico de uma função com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto crítico de uma função que tem derivadas de segunda ordem contínuas. O que a questão quer saber é: com essas informações sobre as segundas derivadas, o que podemos dizer sobre a função nesse ponto? Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a classificar pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as derivadas de segunda ordem. As derivadas parciais , e nos dão informações sobre a curvatura da função nas direções das variáveis e . No teste da segunda derivada, a gente calcula o determinante da matriz Hessiana, que é dada por:

Passo 3

Vamos calcular esse determinante usando os valores fornecidos:

Passo 4

Agora, interpretamos o valor de :
  • Se e , então é um ponto de mínimo local.
  • Se e , então é um ponto de máximo local.
  • Se , então é um ponto de sela.
  • Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, , então estamos na terceira situação.

Resposta

A função possui um ponto de sela em .

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Resolva as seguintes desigualdades:
c)
Existe o limite ? E o limite ?
Expresse a integral como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies: e .