Suponha que
seja um ponto crítico de uma função
com derivadas de segunda ordem contínuas. Em cada caso, o que se pode dizer sobre
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto crítico
de uma função
que tem derivadas de segunda ordem contínuas. O que a questão quer saber é: com essas informações sobre as segundas derivadas, o que podemos dizer sobre a função
nesse ponto? Para resolver isso, vamos usar o teste da segunda derivada, que nos ajuda a classificar pontos críticos como máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as derivadas de segunda ordem. As derivadas parciais
,
e
nos dão informações sobre a curvatura da função
nas direções das variáveis
e
. No teste da segunda derivada, a gente calcula o determinante da matriz Hessiana, que é dada por:
Passo 3
Vamos calcular esse determinante usando os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, interpretamos o valor de
:
- Se
e , então é um ponto de mínimo local. - Se
e , então é um ponto de máximo local. - Se
, então é um ponto de sela. - Se
, o teste não é conclusivo.
No nosso caso,
, então estamos na terceira situação.
Resposta
A função
possui um ponto de sela em
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes desigualdades:
c)
c)
Existe o limite
? E o limite
?
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies:
e
.